Номер 728, страница 208 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

27. Формулы тригонометрических функций двойного и половинного углов. IV. Тригонометрия - номер 728, страница 208.

Условие.

728. Докажите тождество:

a) $ \frac{1 - 4 \sin^2 \alpha \cos^2 \alpha}{\cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha} = \cos 2\alpha $

в) $ \cos \alpha \cos 2\alpha \cos 4\alpha = \frac{\sin 8\alpha}{8 \sin \alpha} $

б) $ \frac{1 + \cos \alpha - \sin \alpha}{1 - \cos \alpha - \sin \alpha} = -\operatorname{ctg} \frac{\alpha}{2} $

г) $ \sqrt{\frac{1 - \cos \alpha}{1 + \cos \alpha}} - \sqrt{\frac{1 + \cos \alpha}{1 - \cos \alpha}} = 2\operatorname{ctg} \alpha $

если $ \pi < \alpha < 2\pi $.

Решение.

Решение 2 (rus).

а) Докажем тождество, преобразуя его левую часть. Используем формулу синуса двойного угла $ \sin 2\alpha = 2 \sin \alpha \cos \alpha $ и косинуса двойного угла $ \cos 2\alpha = \cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha $, а также основное тригонометрическое тождество $ \sin^2 x + \cos^2 x = 1 $.

Преобразуем числитель дроби:

$ 1 - 4 \sin^2 \alpha \cos^2 \alpha = 1 - (2 \sin \alpha \cos \alpha)^2 = 1 - (\sin 2\alpha)^2 = 1 - \sin^2 2\alpha = \cos^2 2\alpha $.

Знаменатель дроби является формулой косинуса двойного угла:

$ \cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha = \cos 2\alpha $.

Теперь подставим преобразованные выражения обратно в левую часть тождества:

$ \frac{1 - 4 \sin^2 \alpha \cos^2 \alpha}{\cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha} = \frac{\cos^2 2\alpha}{\cos 2\alpha} = \cos 2\alpha $.

Левая часть равна правой, что и требовалось доказать.

Ответ: Тождество доказано.

б) Преобразуем левую часть тождества, используя формулы половинного угла: $ 1 + \cos \alpha = 2 \cos^2 \frac{\alpha}{2} $, $ 1 - \cos \alpha = 2 \sin^2 \frac{\alpha}{2} $ и $ \sin \alpha = 2 \sin \frac{\alpha}{2} \cos \frac{\alpha}{2} $.

Преобразуем числитель:

$ 1 + \cos \alpha - \sin \alpha = 2 \cos^2 \frac{\alpha}{2} - 2 \sin \frac{\alpha}{2} \cos \frac{\alpha}{2} = 2 \cos \frac{\alpha}{2} \left( \cos \frac{\alpha}{2} - \sin \frac{\alpha}{2} \right) $.

Преобразуем знаменатель:

$ 1 - \cos \alpha - \sin \alpha = 2 \sin^2 \frac{\alpha}{2} - 2 \sin \frac{\alpha}{2} \cos \frac{\alpha}{2} = 2 \sin \frac{\alpha}{2} \left( \sin \frac{\alpha}{2} - \cos \frac{\alpha}{2} \right) $.

Подставим преобразованные выражения в дробь:

$ \frac{1 + \cos \alpha - \sin \alpha}{1 - \cos \alpha - \sin \alpha} = \frac{2 \cos \frac{\alpha}{2} \left( \cos \frac{\alpha}{2} - \sin \frac{\alpha}{2} \right)}{2 \sin \frac{\alpha}{2} \left( \sin \frac{\alpha}{2} - \cos \frac{\alpha}{2} \right)} = \frac{\cos \frac{\alpha}{2} \left( \cos \frac{\alpha}{2} - \sin \frac{\alpha}{2} \right)}{\sin \frac{\alpha}{2} \left( -(\cos \frac{\alpha}{2} - \sin \frac{\alpha}{2}) \right)} $.

Сократив общий множитель $ \left( \cos \frac{\alpha}{2} - \sin \frac{\alpha}{2} \right) $, получим:

$ \frac{\cos \frac{\alpha}{2}}{-\sin \frac{\alpha}{2}} = -\ctg \frac{\alpha}{2} $.

Условие $ \pi < \alpha < 2\pi $ обеспечивает, что знаменатели в исходном и преобразованном выражениях не равны нулю. Левая часть равна правой.

Ответ: Тождество доказано.

в) Для доказательства этого тождества будем последовательно преобразовывать левую часть, используя формулу синуса двойного угла $ \sin 2x = 2 \sin x \cos x $. Для этого умножим и разделим левую часть на $ 2 \sin \alpha $ (при условии, что $ \sin \alpha \neq 0 $, что также требуется для правой части).

$ \cos \alpha \cos 2\alpha \cos 4\alpha = \frac{(2 \sin \alpha \cos \alpha) \cos 2\alpha \cos 4\alpha}{2 \sin \alpha} = \frac{\sin 2\alpha \cos 2\alpha \cos 4\alpha}{2 \sin \alpha} $.

Снова умножим и разделим на 2:

$ \frac{(2 \sin 2\alpha \cos 2\alpha) \cos 4\alpha}{2 \cdot 2 \sin \alpha} = \frac{\sin 4\alpha \cos 4\alpha}{4 \sin \alpha} $.

И еще раз умножим и разделим на 2:

$ \frac{2 \sin 4\alpha \cos 4\alpha}{2 \cdot 4 \sin \alpha} = \frac{\sin 8\alpha}{8 \sin \alpha} $.

Таким образом, мы получили правую часть тождества.

Ответ: Тождество доказано.

г) Преобразуем левую часть тождества. Используем формулы $ 1 - \cos \alpha = 2 \sin^2 \frac{\alpha}{2} $ и $ 1 + \cos \alpha = 2 \cos^2 \frac{\alpha}{2} $.

$ \sqrt{\frac{1 - \cos \alpha}{1 + \cos \alpha}} - \sqrt{\frac{1 + \cos \alpha}{1 - \cos \alpha}} = \sqrt{\frac{2 \sin^2 \frac{\alpha}{2}}{2 \cos^2 \frac{\alpha}{2}}} - \sqrt{\frac{2 \cos^2 \frac{\alpha}{2}}{2 \sin^2 \frac{\alpha}{2}}} = \sqrt{\tan^2 \frac{\alpha}{2}} - \sqrt{\ctg^2 \frac{\alpha}{2}} $.

Поскольку $ \sqrt{x^2} = |x| $, выражение равно:

$ |\tan \frac{\alpha}{2}| - |\ctg \frac{\alpha}{2}| $.

Теперь используем условие $ \pi < \alpha < 2\pi $. Разделив на 2, получим $ \frac{\pi}{2} < \frac{\alpha}{2} < \pi $. Это вторая координатная четверть.

Во второй четверти синус положителен, а косинус отрицателен, поэтому $ \tan \frac{\alpha}{2} < 0 $ и $ \ctg \frac{\alpha}{2} < 0 $.

Следовательно, $ |\tan \frac{\alpha}{2}| = -\tan \frac{\alpha}{2} $ и $ |\ctg \frac{\alpha}{2}| = -\ctg \frac{\alpha}{2} $.

Подставим это в наше выражение:

$ (-\tan \frac{\alpha}{2}) - (-\ctg \frac{\alpha}{2}) = \ctg \frac{\alpha}{2} - \tan \frac{\alpha}{2} $.

Преобразуем полученное выражение к общему знаменателю:

$ \frac{\cos \frac{\alpha}{2}}{\sin \frac{\alpha}{2}} - \frac{\sin \frac{\alpha}{2}}{\cos \frac{\alpha}{2}} = \frac{\cos^2 \frac{\alpha}{2} - \sin^2 \frac{\alpha}{2}}{\sin \frac{\alpha}{2} \cos \frac{\alpha}{2}} $.

Используя формулы двойного угла $ \cos \alpha = \cos^2 \frac{\alpha}{2} - \sin^2 \frac{\alpha}{2} $ и $ \sin \alpha = 2 \sin \frac{\alpha}{2} \cos \frac{\alpha}{2} $, получаем:

$ \frac{\cos \alpha}{\frac{1}{2} \sin \alpha} = \frac{2 \cos \alpha}{\sin \alpha} = 2 \ctg \alpha $.

Левая часть равна правой, что и требовалось доказать.

Ответ: Тождество доказано.