Номер 725, страница 207 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

27. Формулы тригонометрических функций двойного и половинного углов. IV. Тригонометрия - номер 725, страница 207.

Условие.

725. Вычислите:

а) $tg \alpha$, если $tg 2\alpha = -\frac{5}{12}$;

б) $tg(\alpha + \frac{\pi}{4})$, если $sin 2\alpha = 0,96$.

Решение.

Решение 2 (rus).

а) Для вычисления $tg\,\alpha$ воспользуемся формулой тангенса двойного угла:
$tg\,2\alpha = \frac{2tg\,\alpha}{1 - tg^2\alpha}$
Подставим в формулу известное значение $tg\,2\alpha = -\frac{5}{12}$:
$-\frac{5}{12} = \frac{2tg\,\alpha}{1 - tg^2\alpha}$
Для удобства введем замену: пусть $x = tg\,\alpha$. Уравнение примет вид:
$-\frac{5}{12} = \frac{2x}{1 - x^2}$
Решим это уравнение. Используем свойство пропорции:
$-5(1 - x^2) = 12(2x)$
$-5 + 5x^2 = 24x$
Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:
$5x^2 - 24x - 5 = 0$
Найдем корни этого уравнения с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:
$D = (-24)^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-5) = 576 + 100 = 676 = 26^2$
Так как дискриминант положительный, уравнение имеет два различных корня:
$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{24 + 26}{2 \cdot 5} = \frac{50}{10} = 5$
$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{24 - 26}{2 \cdot 5} = \frac{-2}{10} = -\frac{1}{5}$
Поскольку $x = tg\,\alpha$, мы нашли возможные значения для $tg\,\alpha$.
Ответ: $5$ или $-\frac{1}{5}$.

б) Для вычисления $tg(\alpha + \frac{\pi}{4})$ можно использовать готовую формулу, связывающую его с $sin\,2\alpha$, или вывести ее. Проведем вывод.
Сначала воспользуемся формулой тангенса суммы углов:
$tg(\alpha + \frac{\pi}{4}) = \frac{tg\,\alpha + tg\frac{\pi}{4}}{1 - tg\,\alpha \cdot tg\frac{\pi}{4}}$
Так как $tg\frac{\pi}{4} = 1$, формула упрощается:
$tg(\alpha + \frac{\pi}{4}) = \frac{1+tg\,\alpha}{1-tg\,\alpha}$
Выразим тангенс через синус и косинус: $tg\,\alpha = \frac{sin\alpha}{cos\alpha}$.
$tg(\alpha + \frac{\pi}{4}) = \frac{1+\frac{sin\alpha}{cos\alpha}}{1-\frac{sin\alpha}{cos\alpha}} = \frac{\frac{cos\alpha+sin\alpha}{cos\alpha}}{\frac{cos\alpha-sin\alpha}{cos\alpha}} = \frac{cos\alpha + sin\alpha}{cos\alpha - sin\alpha}$
Возведем обе части равенства в квадрат:
$tg^2(\alpha + \frac{\pi}{4}) = \left(\frac{cos\alpha + sin\alpha}{cos\alpha - sin\alpha}\right)^2 = \frac{(cos\alpha + sin\alpha)^2}{(cos\alpha - sin\alpha)^2}$
Раскроем скобки, используя формулы квадрата суммы и разности:
$tg^2(\alpha + \frac{\pi}{4}) = \frac{cos^2\alpha + 2sin\alpha cos\alpha + sin^2\alpha}{cos^2\alpha - 2sin\alpha cos\alpha + sin^2\alpha}$
Применим основное тригонометрическое тождество $sin^2\alpha + cos^2\alpha = 1$ и формулу синуса двойного угла $2sin\alpha cos\alpha = sin\,2\alpha$:
$tg^2(\alpha + \frac{\pi}{4}) = \frac{1 + sin\,2\alpha}{1 - sin\,2\alpha}$
Теперь подставим в полученную формулу данное значение $sin\,2\alpha = 0,96$:
$tg^2(\alpha + \frac{\pi}{4}) = \frac{1 + 0,96}{1 - 0,96} = \frac{1,96}{0,04} = \frac{196}{4} = 49$
Из этого уравнения находим возможные значения для $tg(\alpha + \frac{\pi}{4})$:
$tg(\alpha + \frac{\pi}{4}) = \sqrt{49} = 7$ или $tg(\alpha + \frac{\pi}{4}) = -\sqrt{49} = -7$.
Ответ: $7$ или $-7$.