Номер 721, страница 207 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

27. Формулы тригонометрических функций двойного и половинного углов. IV. Тригонометрия - номер 721, страница 207.

Условие.

721. Преобразуйте выражение, используя формулы половинного угла:

а) $\sin^2 6\alpha$;

б) $\cos^2 4\alpha$;

в) $\sin^2\left(4\alpha + \frac{\pi}{4}\right)$;

г) $\cos^2\left(6\alpha - \frac{3\pi}{4}\right)$;

д) $\operatorname{tg} 3\alpha$;

е) $\operatorname{ctg} 8\alpha$.

Решение.

Решение 2 (rus).

а) Используем формулу понижения степени для квадрата синуса, которая является формой записи формулы половинного угла: $\sin^2 A = \frac{1 - \cos(2A)}{2}$. В данном выражении $\sin^2(6\alpha)$ аргумент $A = 6\alpha$. Следовательно, удвоенный аргумент $2A = 2 \cdot 6\alpha = 12\alpha$. Подставляя это в формулу, получаем: $\sin^2(6\alpha) = \frac{1 - \cos(12\alpha)}{2}$. Ответ: $\frac{1 - \cos(12\alpha)}{2}$

б) Используем формулу понижения степени для квадрата косинуса: $\cos^2 A = \frac{1 + \cos(2A)}{2}$. В выражении $\cos^2(4\alpha)$ аргумент $A = 4\alpha$. Тогда $2A = 2 \cdot 4\alpha = 8\alpha$. Подставляя в формулу, получаем: $\cos^2(4\alpha) = \frac{1 + \cos(8\alpha)}{2}$. Ответ: $\frac{1 + \cos(8\alpha)}{2}$

в) Применяем формулу понижения степени для квадрата синуса $\sin^2 A = \frac{1 - \cos(2A)}{2}$ к выражению $\sin^2(4\alpha + \frac{\pi}{4})$. Здесь $A = 4\alpha + \frac{\pi}{4}$. Находим удвоенный аргумент: $2A = 2(4\alpha + \frac{\pi}{4}) = 8\alpha + \frac{\pi}{2}$. Получаем: $\sin^2(4\alpha + \frac{\pi}{4}) = \frac{1 - \cos(8\alpha + \frac{\pi}{2})}{2}$. Используя формулу приведения $\cos(\frac{\pi}{2} + x) = -\sin x$, упрощаем выражение: $\cos(8\alpha + \frac{\pi}{2}) = -\sin(8\alpha)$. Таким образом, $\sin^2(4\alpha + \frac{\pi}{4}) = \frac{1 - (-\sin(8\alpha))}{2} = \frac{1 + \sin(8\alpha)}{2}$. Ответ: $\frac{1 + \sin(8\alpha)}{2}$

г) Применяем формулу понижения степени для квадрата косинуса $\cos^2 A = \frac{1 + \cos(2A)}{2}$ к выражению $\cos^2(6\alpha - \frac{3\pi}{4})$. Здесь $A = 6\alpha - \frac{3\pi}{4}$. Находим удвоенный аргумент: $2A = 2(6\alpha - \frac{3\pi}{4}) = 12\alpha - \frac{3\pi}{2}$. Получаем: $\cos^2(6\alpha - \frac{3\pi}{4}) = \frac{1 + \cos(12\alpha - \frac{3\pi}{2})}{2}$. Используя формулу приведения $\cos(x - \frac{3\pi}{2}) = -\sin x$, упрощаем выражение: $\cos(12\alpha - \frac{3\pi}{2}) = -\sin(12\alpha)$. Таким образом, $\cos^2(6\alpha - \frac{3\pi}{4}) = \frac{1 + (-\sin(12\alpha))}{2} = \frac{1 - \sin(12\alpha)}{2}$. Ответ: $\frac{1 - \sin(12\alpha)}{2}$

д) Для преобразования $\tan(3\alpha)$ используем формулу тангенса половинного угла: $\tan \frac{A}{2} = \frac{1 - \cos A}{\sin A}$ или $\tan \frac{A}{2} = \frac{\sin A}{1 + \cos A}$. Представим $3\alpha$ как половинный угол: $3\alpha = \frac{6\alpha}{2}$. В этом случае полный угол $A=6\alpha$. Используя первую формулу, получаем: $\tan(3\alpha) = \frac{1 - \cos(6\alpha)}{\sin(6\alpha)}$. Ответ: $\frac{1 - \cos(6\alpha)}{\sin(6\alpha)}$

е) Для преобразования $\cot(8\alpha)$ используем формулу котангенса половинного угла: $\cot \frac{A}{2} = \frac{1 + \cos A}{\sin A}$ или $\cot \frac{A}{2} = \frac{\sin A}{1 - \cos A}$. Представим $8\alpha$ как половинный угол: $8\alpha = \frac{16\alpha}{2}$. В этом случае полный угол $A=16\alpha$. Используя первую формулу, получаем: $\cot(8\alpha) = \frac{1 + \cos(16\alpha)}{\sin(16\alpha)}$. Ответ: $\frac{1 + \cos(16\alpha)}{\sin(16\alpha)}$