Номер 714, страница 205 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

27. Формулы тригонометрических функций двойного и половинного углов. IV. Тригонометрия - номер 714, страница 205.

Условие.

714. Упростите выражение:

а) $cos^4 2\alpha - sin^4 2\alpha;$

б) $\frac{cos 8\alpha}{cos 4\alpha - sin 4\alpha} - cos 4\alpha;$

в) $1 - 2sin^2 2\alpha;$

г) $2sin 3\alpha \cdot cos 3\alpha \cdot cos 6\alpha;$

д) $\frac{(\sin \alpha + \cos \alpha)^2}{1 + \sin 2 \alpha};$

е) $2cos^2 3\alpha - 1.$

Решение.

Решение 2 (rus).

а) Используем формулу разности квадратов $a^4 - b^4 = (a^2 - b^2)(a^2 + b^2)$.
$\cos^4 2\alpha - \sin^4 2\alpha = (\cos^2 2\alpha - \sin^2 2\alpha)(\cos^2 2\alpha + \sin^2 2\alpha)$.
Далее применяем основное тригонометрическое тождество $\cos^2 x + \sin^2 x = 1$ и формулу косинуса двойного угла $\cos 2x = \cos^2 x - \sin^2 x$.
Первая скобка: $\cos^2 2\alpha - \sin^2 2\alpha = \cos(2 \cdot 2\alpha) = \cos 4\alpha$.
Вторая скобка: $\cos^2 2\alpha + \sin^2 2\alpha = 1$.
Перемножаем результаты: $\cos 4\alpha \cdot 1 = \cos 4\alpha$.
Ответ: $\cos 4\alpha$.

б) Преобразуем числитель дроби, используя формулу косинуса двойного угла $\cos 2x = \cos^2 x - \sin^2 x$, где $x = 4\alpha$.
$\cos 8\alpha = \cos(2 \cdot 4\alpha) = \cos^2 4\alpha - \sin^2 4\alpha$.
Применим к числителю формулу разности квадратов:
$\cos^2 4\alpha - \sin^2 4\alpha = (\cos 4\alpha - \sin 4\alpha)(\cos 4\alpha + \sin 4\alpha)$.
Подставим полученное выражение в исходное:
$\frac{(\cos 4\alpha - \sin 4\alpha)(\cos 4\alpha + \sin 4\alpha)}{\cos 4\alpha - \sin 4\alpha} - \cos 4\alpha$.
Сократим дробь, предполагая, что $\cos 4\alpha - \sin 4\alpha \neq 0$:
$(\cos 4\alpha + \sin 4\alpha) - \cos 4\alpha = \sin 4\alpha$.
Ответ: $\sin 4\alpha$.

в) Данное выражение является одной из формул косинуса двойного угла: $\cos 2x = 1 - 2\sin^2 x$.
В нашем случае $x = 2\alpha$.
Следовательно, $1 - 2\sin^2 2\alpha = \cos(2 \cdot 2\alpha) = \cos 4\alpha$.
Ответ: $\cos 4\alpha$.

г) Используем формулу синуса двойного угла $\sin 2x = 2\sin x \cos x$.
Сначала сгруппируем $2\sin 3\alpha \cos 3\alpha$. По формуле, где $x = 3\alpha$, это равно $\sin(2 \cdot 3\alpha) = \sin 6\alpha$.
Выражение принимает вид: $\sin 6\alpha \cdot \cos 6\alpha$.
Чтобы снова применить формулу синуса двойного угла, умножим и разделим выражение на 2:
$\sin 6\alpha \cos 6\alpha = \frac{1}{2} (2\sin 6\alpha \cos 6\alpha)$.
Теперь выражение в скобках равно $\sin(2 \cdot 6\alpha) = \sin 12\alpha$.
Таким образом, окончательное выражение равно $\frac{1}{2}\sin 12\alpha$.
Ответ: $\frac{1}{2}\sin 12\alpha$.

д) Раскроем квадрат суммы в числителе: $(\sin \alpha + \cos \alpha)^2 = \sin^2 \alpha + 2\sin \alpha \cos \alpha + \cos^2 \alpha$.
Используя основное тригонометрическое тождество $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$ и формулу синуса двойного угла $2\sin \alpha \cos \alpha = \sin 2\alpha$, преобразуем числитель:
$(\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha) + 2\sin \alpha \cos \alpha = 1 + \sin 2\alpha$.
Теперь всё выражение выглядит так:
$\frac{1 + \sin 2\alpha}{1 + \sin 2\alpha}$.
При условии, что знаменатель не равен нулю ($1 + \sin 2\alpha \neq 0$), выражение равно 1.
Ответ: 1.

е) Данное выражение является одной из формул косинуса двойного угла: $\cos 2x = 2\cos^2 x - 1$.
В нашем случае $x = 3\alpha$.
Следовательно, $2\cos^2 3\alpha - 1 = \cos(2 \cdot 3\alpha) = \cos 6\alpha$.
Ответ: $\cos 6\alpha$.