Номер 715, страница 206 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

27. Формулы тригонометрических функций двойного и половинного углов. IV. Тригонометрия - номер 715, страница 206.

Условие.

715. Вычислите:

а) sin $2\alpha$, если cos $\alpha = -\frac{5}{13}$ и $\frac{\pi}{2} < \alpha < \pi$;

г) cos $2\alpha$, если tg $\alpha = 3$;

б) cos $2\alpha$, если sin $\alpha = -0,8$ и $\frac{3\pi}{2} < \alpha < 2\pi$;

д) sin $4\alpha$, если tg $\alpha = 2$;

в) tg $2\alpha$, если cos $\alpha = -0,6$ и $\pi < \alpha < \frac{3\pi}{2}$;

е) cos $4\alpha$, если sin $\alpha = \frac{1}{3}$.

Решение.

Решение 2 (rus).

а) Для вычисления $sin(2\alpha)$ воспользуемся формулой синуса двойного угла: $sin(2\alpha) = 2sin(\alpha)cos(\alpha)$.
Нам дан $cos(\alpha) = -\frac{5}{13}$. Необходимо найти $sin(\alpha)$. Используем основное тригонометрическое тождество: $sin^2(\alpha) + cos^2(\alpha) = 1$.
$sin^2(\alpha) = 1 - cos^2(\alpha) = 1 - \left(-\frac{5}{13}\right)^2 = 1 - \frac{25}{169} = \frac{169 - 25}{169} = \frac{144}{169}$.
$sin(\alpha) = \pm\sqrt{\frac{144}{169}} = \pm\frac{12}{13}$.
По условию, угол $\alpha$ принадлежит второй четверти ($\frac{\pi}{2} < \alpha < \pi$), где $sin(\alpha)$ имеет положительное значение. Значит, $sin(\alpha) = \frac{12}{13}$.
Теперь подставляем значения в формулу для $sin(2\alpha)$:
$sin(2\alpha) = 2 \cdot \frac{12}{13} \cdot \left(-\frac{5}{13}\right) = -\frac{120}{169}$.
Ответ: $-\frac{120}{169}$.

б) Для вычисления $cos(2\alpha)$ используем формулу, связывающую его с $sin(\alpha)$: $cos(2\alpha) = 1 - 2sin^2(\alpha)$.
Нам дан $sin(\alpha) = -0,8 = -\frac{4}{5}$.
Подставляем это значение в формулу:
$cos(2\alpha) = 1 - 2 \cdot (-0,8)^2 = 1 - 2 \cdot 0,64 = 1 - 1,28 = -0,28$.
В дробях: $cos(2\alpha) = 1 - 2 \cdot \left(-\frac{4}{5}\right)^2 = 1 - 2 \cdot \frac{16}{25} = 1 - \frac{32}{25} = \frac{25 - 32}{25} = -\frac{7}{25}$.
Условие $\frac{3\pi}{2} < \alpha < 2\pi$ (четвертая четверть) согласуется со знаком $sin(\alpha) < 0$, но для вычисления $cos(2\alpha)$ по данной формуле оно не требовалось.
Ответ: $-0,28$.

в) Для вычисления $tg(2\alpha)$ воспользуемся формулой тангенса двойного угла: $tg(2\alpha) = \frac{2tg(\alpha)}{1 - tg^2(\alpha)}$.
Сначала найдем $tg(\alpha)$. Нам дан $cos(\alpha) = -0,6 = -\frac{3}{5}$.
Найдем $sin(\alpha)$ из тождества $sin^2(\alpha) + cos^2(\alpha) = 1$:
$sin^2(\alpha) = 1 - (-0,6)^2 = 1 - 0,36 = 0,64$.
$sin(\alpha) = \pm\sqrt{0,64} = \pm0,8$.
По условию, угол $\alpha$ находится в третьей четверти ($\pi < \alpha < \frac{3\pi}{2}$), где и синус, и косинус отрицательны. Значит, $sin(\alpha) = -0,8 = -\frac{4}{5}$.
Теперь найдем $tg(\alpha) = \frac{sin(\alpha)}{cos(\alpha)} = \frac{-0,8}{-0,6} = \frac{8}{6} = \frac{4}{3}$.
Подставляем значение $tg(\alpha)$ в формулу для $tg(2\alpha)$:
$tg(2\alpha) = \frac{2 \cdot \frac{4}{3}}{1 - (\frac{4}{3})^2} = \frac{\frac{8}{3}}{1 - \frac{16}{9}} = \frac{\frac{8}{3}}{\frac{9 - 16}{9}} = \frac{\frac{8}{3}}{-\frac{7}{9}} = \frac{8}{3} \cdot \left(-\frac{9}{7}\right) = -\frac{24}{7}$.
Ответ: $-\frac{24}{7}$.

г) Для вычисления $cos(2\alpha)$ при известном $tg(\alpha)$ удобно использовать формулу, выражающую косинус двойного угла через тангенс: $cos(2\alpha) = \frac{1 - tg^2(\alpha)}{1 + tg^2(\alpha)}$.
Нам дано $tg(\alpha) = 3$.
Подставляем это значение в формулу:
$cos(2\alpha) = \frac{1 - 3^2}{1 + 3^2} = \frac{1 - 9}{1 + 9} = \frac{-8}{10} = -\frac{4}{5}$.
Ответ: $-\frac{4}{5}$.

д) Для вычисления $sin(4\alpha)$ используем формулу синуса двойного угла: $sin(4\alpha) = 2sin(2\alpha)cos(2\alpha)$.
Сначала найдем $sin(2\alpha)$ и $cos(2\alpha)$, используя формулы их выражения через $tg(\alpha) = 2$:
$sin(2\alpha) = \frac{2tg(\alpha)}{1 + tg^2(\alpha)} = \frac{2 \cdot 2}{1 + 2^2} = \frac{4}{1 + 4} = \frac{4}{5}$.
$cos(2\alpha) = \frac{1 - tg^2(\alpha)}{1 + tg^2(\alpha)} = \frac{1 - 2^2}{1 + 2^2} = \frac{1 - 4}{1 + 4} = -\frac{3}{5}$.
Теперь вычисляем $sin(4\alpha)$:
$sin(4\alpha) = 2 \cdot sin(2\alpha) \cdot cos(2\alpha) = 2 \cdot \frac{4}{5} \cdot \left(-\frac{3}{5}\right) = -\frac{24}{25}$.
Ответ: $-\frac{24}{25}$.

е) Для вычисления $cos(4\alpha)$ представим его как косинус двойного угла от $2\alpha$: $cos(4\alpha) = cos(2 \cdot 2\alpha)$.
Воспользуемся одной из формул косинуса двойного угла, например, $cos(2x) = 2cos^2(x) - 1$. В нашем случае $x = 2\alpha$, так что $cos(4\alpha) = 2cos^2(2\alpha) - 1$.
Сначала нужно найти $cos(2\alpha)$. Используем формулу $cos(2\alpha) = 1 - 2sin^2(\alpha)$, так как нам дан $sin(\alpha) = \frac{1}{3}$.
$cos(2\alpha) = 1 - 2 \cdot \left(\frac{1}{3}\right)^2 = 1 - 2 \cdot \frac{1}{9} = 1 - \frac{2}{9} = \frac{7}{9}$.
Теперь подставляем найденное значение $cos(2\alpha)$ в формулу для $cos(4\alpha)$:
$cos(4\alpha) = 2 \cdot \left(\frac{7}{9}\right)^2 - 1 = 2 \cdot \frac{49}{81} - 1 = \frac{98}{81} - \frac{81}{81} = \frac{17}{81}$.
Ответ: $\frac{17}{81}$.