Номер 716, страница 206 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

27. Формулы тригонометрических функций двойного и половинного углов. IV. Тригонометрия - номер 716, страница 206.

Условие.

716. a) В равнобедренном треугольнике синус угла при основании равен $\frac{7}{25}$. Найдите синус и косинус угла при его вершине.

б) Известно, что в ромбе ABCD $\cos \angle CAD = 0,2$. Найдите косинус угла BAD и установите, тупым или острым является этот угол.

Решение.

Решение 2 (rus).

а) Пусть в равнобедренном треугольнике угол при основании равен $\alpha$, а угол при вершине равен $\beta$. По условию задачи, $\sin \alpha = \frac{7}{25}$. Сумма углов в треугольнике равна $180^\circ$, поэтому $2\alpha + \beta = 180^\circ$. Отсюда следует, что угол при вершине $\beta = 180^\circ - 2\alpha$.Чтобы найти синус и косинус угла $\beta$, воспользуемся формулами приведения: $\sin \beta = \sin(180^\circ - 2\alpha) = \sin(2\alpha)$ и $\cos \beta = \cos(180^\circ - 2\alpha) = -\cos(2\alpha)$.Для вычисления $\sin(2\alpha)$ и $\cos(2\alpha)$ сначала найдем $\cos \alpha$ из основного тригонометрического тождества $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$.$\cos^2 \alpha = 1 - \sin^2 \alpha = 1 - \left(\frac{7}{25}\right)^2 = 1 - \frac{49}{625} = \frac{625 - 49}{625} = \frac{576}{625}$.Так как $\alpha$ — это угол при основании равнобедренного треугольника, он не может быть тупым ($2\alpha < 180^\circ \Rightarrow \alpha < 90^\circ$), значит, его косинус положителен.Следовательно, $\cos \alpha = \sqrt{\frac{576}{625}} = \frac{24}{25}$.Теперь, используя формулы двойного угла, находим:$\sin(2\alpha) = 2 \sin \alpha \cos \alpha = 2 \cdot \frac{7}{25} \cdot \frac{24}{25} = \frac{336}{625}$.$\cos(2\alpha) = \cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha = \left(\frac{24}{25}\right)^2 - \left(\frac{7}{25}\right)^2 = \frac{576 - 49}{625} = \frac{527}{625}$.Наконец, вычисляем искомые значения для угла $\beta$:$\sin \beta = \sin(2\alpha) = \frac{336}{625}$.$\cos \beta = -\cos(2\alpha) = -\frac{527}{625}$.

Ответ: синус угла при вершине равен $\frac{336}{625}$, косинус равен $-\frac{527}{625}$.

б) В ромбе диагонали являются биссектрисами его углов. Следовательно, диагональ $AC$ делит угол $BAD$ пополам. Таким образом, $\angle BAD = 2 \cdot \angle CAD$.Нам дан косинус угла $CAD$: $\cos \angle CAD = 0,2$.Требуется найти косинус угла $BAD$. Для этого воспользуемся формулой косинуса двойного угла: $\cos(2x) = 2\cos^2 x - 1$.Подставим известное значение:$\cos \angle BAD = 2 \cdot (\cos \angle CAD)^2 - 1 = 2 \cdot (0,2)^2 - 1 = 2 \cdot 0,04 - 1 = 0,08 - 1 = -0,92$.Далее, установим, является ли угол $BAD$ тупым или острым. Тип угла определяется знаком его косинуса. Если косинус угла положителен, угол острый ($0^\circ < \alpha < 90^\circ$). Если косинус отрицателен, угол тупой ($90^\circ < \alpha < 180^\circ$).Поскольку $\cos \angle BAD = -0,92$, что является отрицательным числом, угол $BAD$ — тупой.

Ответ: косинус угла $BAD$ равен $-0,92$; угол является тупым.