Номер 717, страница 206 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

27. Формулы тригонометрических функций двойного и половинного углов. IV. Тригонометрия - номер 717, страница 206.

Условие.

717. Докажите тождество:

a) $\frac{2}{\text{tg } \alpha + \text{ctg } \alpha} = \sin 2\alpha;$

Б) $\frac{\cos 2\alpha - 1}{\sin 2\alpha} = -\text{tg } \alpha;$

В) $\frac{\sin 2\alpha}{1 + \cos 2\alpha} = \text{tg } \alpha;$

Г) $\frac{\sin 2\alpha + \sin \alpha}{1 + \cos 2\alpha + \cos \alpha} = \text{tg } \alpha.$

Решение.

Решение 2 (rus).

а) Для доказательства тождества $ \frac{2}{\tg \alpha + \ctg \alpha} = \sin 2\alpha $ преобразуем его левую часть. Выразим тангенс и котангенс через синус и косинус: $ \tg \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} $ и $ \ctg \alpha = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} $. Подставим эти выражения в знаменатель дроби в левой части:$ \tg \alpha + \ctg \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} + \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} = \frac{\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha}{\sin \alpha \cos \alpha} $.Применяя основное тригонометрическое тождество $ \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 $, получаем:$ \frac{1}{\sin \alpha \cos \alpha} $.Теперь подставим результат обратно в левую часть исходного равенства:$ \frac{2}{\frac{1}{\sin \alpha \cos \alpha}} = 2 \sin \alpha \cos \alpha $.Используя формулу синуса двойного угла $ \sin 2\alpha = 2 \sin \alpha \cos \alpha $, видим, что левая часть равна правой. Тождество доказано.
Ответ: Тождество доказано.

б) Для доказательства тождества $ \frac{\cos 2\alpha - 1}{\sin 2\alpha} = -\tg \alpha $ преобразуем левую часть. Воспользуемся формулами двойного угла: $ \cos 2\alpha = 1 - 2\sin^2 \alpha $ и $ \sin 2\alpha = 2 \sin \alpha \cos \alpha $.Подставим эти формулы в выражение:$ \frac{(1 - 2\sin^2 \alpha) - 1}{2 \sin \alpha \cos \alpha} = \frac{-2\sin^2 \alpha}{2 \sin \alpha \cos \alpha} $.Сократим дробь на $ 2 \sin \alpha $:$ \frac{-\sin \alpha}{\cos \alpha} $.Так как $ \tg \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} $, то полученное выражение равно $ -\tg \alpha $. Левая часть равна правой, тождество доказано.
Ответ: Тождество доказано.

в) Для доказательства тождества $ \frac{\sin 2\alpha}{1 + \cos 2\alpha} = \tg \alpha $ преобразуем левую часть. Используем формулы двойного угла: $ \sin 2\alpha = 2 \sin \alpha \cos \alpha $ и $ \cos 2\alpha = 2\cos^2 \alpha - 1 $.Подставим их в левую часть:$ \frac{2 \sin \alpha \cos \alpha}{1 + (2\cos^2 \alpha - 1)} = \frac{2 \sin \alpha \cos \alpha}{2\cos^2 \alpha} $.Сократим дробь на $ 2 \cos \alpha $:$ \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} $.По определению тангенса, это выражение равно $ \tg \alpha $. Левая часть равна правой, тождество доказано.
Ответ: Тождество доказано.

г) Для доказательства тождества $ \frac{\sin 2\alpha + \sin \alpha}{1 + \cos 2\alpha + \cos \alpha} = \tg \alpha $ преобразуем левую часть. Снова используем формулы двойного угла $ \sin 2\alpha = 2 \sin \alpha \cos \alpha $ и $ \cos 2\alpha = 2\cos^2 \alpha - 1 $.Преобразуем числитель, вынеся за скобки $ \sin \alpha $:$ \sin 2\alpha + \sin \alpha = 2 \sin \alpha \cos \alpha + \sin \alpha = \sin \alpha (2 \cos \alpha + 1) $.Преобразуем знаменатель:$ 1 + \cos 2\alpha + \cos \alpha = 1 + (2\cos^2 \alpha - 1) + \cos \alpha = 2\cos^2 \alpha + \cos \alpha = \cos \alpha (2 \cos \alpha + 1) $.Теперь подставим преобразованные выражения в дробь:$ \frac{\sin \alpha (2 \cos \alpha + 1)}{\cos \alpha (2 \cos \alpha + 1)} $.Сократив общий множитель $ (2 \cos \alpha + 1) $, получим:$ \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \tg \alpha $.Левая часть равна правой, тождество доказано.
Ответ: Тождество доказано.