Номер 711, страница 205 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

27. Формулы тригонометрических функций двойного и половинного углов. IV. Тригонометрия - номер 711, страница 205.

Условие.

711. Преобразуйте каждое из выражений, используя формулу двойного угла:

a) $sin 8\alpha$, $cos 6\alpha$, $tg 4\alpha$;

б) $sin 5\alpha$, $cos 3\alpha$, $ctg \alpha$;

в) $sin \frac{\alpha}{2}$, $cos \frac{\alpha}{3}$, $tg \frac{\alpha}{4}$;

г) $sin \frac{\alpha}{5}$, $cos \frac{2\alpha}{7}$, $ctg \frac{3\alpha}{4}$.

Решение.

Решение 2 (rus).

а)

Для преобразования $\sin 8\alpha$ используем формулу синуса двойного угла $\sin(2x) = 2 \sin x \cos x$. Полагая $8\alpha = 2 \cdot 4\alpha$, получаем $x = 4\alpha$:
$\sin 8\alpha = 2 \sin 4\alpha \cos 4\alpha$.
Ответ: $2 \sin 4\alpha \cos 4\alpha$.

Для преобразования $\cos 6\alpha$ используем формулу косинуса двойного угла $\cos(2x) = \cos^2 x - \sin^2 x$. Полагая $6\alpha = 2 \cdot 3\alpha$, получаем $x = 3\alpha$:
$\cos 6\alpha = \cos^2 3\alpha - \sin^2 3\alpha$.
Ответ: $\cos^2 3\alpha - \sin^2 3\alpha$.

Для преобразования $\tan 4\alpha$ используем формулу тангенса двойного угла $\tan(2x) = \frac{2 \tan x}{1 - \tan^2 x}$. Полагая $4\alpha = 2 \cdot 2\alpha$, получаем $x = 2\alpha$:
$\tan 4\alpha = \frac{2 \tan 2\alpha}{1 - \tan^2 2\alpha}$.
Ответ: $\frac{2 \tan 2\alpha}{1 - \tan^2 2\alpha}$.

б)

Для преобразования $\sin 5\alpha$ используем формулу синуса двойного угла $\sin(2x) = 2 \sin x \cos x$. Полагая $5\alpha = 2 \cdot \frac{5\alpha}{2}$, получаем $x = \frac{5\alpha}{2}$:
$\sin 5\alpha = 2 \sin \frac{5\alpha}{2} \cos \frac{5\alpha}{2}$.
Ответ: $2 \sin \frac{5\alpha}{2} \cos \frac{5\alpha}{2}$.

Для преобразования $\cos 3\alpha$ используем формулу косинуса двойного угла $\cos(2x) = \cos^2 x - \sin^2 x$. Полагая $3\alpha = 2 \cdot \frac{3\alpha}{2}$, получаем $x = \frac{3\alpha}{2}$:
$\cos 3\alpha = \cos^2 \frac{3\alpha}{2} - \sin^2 \frac{3\alpha}{2}$.
Ответ: $\cos^2 \frac{3\alpha}{2} - \sin^2 \frac{3\alpha}{2}$.

Для преобразования $\cot \alpha$ используем формулу котангенса двойного угла $\cot(2x) = \frac{\cot^2 x - 1}{2 \cot x}$. Полагая $\alpha = 2 \cdot \frac{\alpha}{2}$, получаем $x = \frac{\alpha}{2}$:
$\cot \alpha = \frac{\cot^2 \frac{\alpha}{2} - 1}{2 \cot \frac{\alpha}{2}}$.
Ответ: $\frac{\cot^2 \frac{\alpha}{2} - 1}{2 \cot \frac{\alpha}{2}}$.

в)

Для преобразования $\sin \frac{\alpha}{2}$ используем формулу синуса двойного угла $\sin(2x) = 2 \sin x \cos x$. Полагая $\frac{\alpha}{2} = 2 \cdot \frac{\alpha}{4}$, получаем $x = \frac{\alpha}{4}$:
$\sin \frac{\alpha}{2} = 2 \sin \frac{\alpha}{4} \cos \frac{\alpha}{4}$.
Ответ: $2 \sin \frac{\alpha}{4} \cos \frac{\alpha}{4}$.

Для преобразования $\cos \frac{\alpha}{3}$ используем формулу косинуса двойного угла $\cos(2x) = \cos^2 x - \sin^2 x$. Полагая $\frac{\alpha}{3} = 2 \cdot \frac{\alpha}{6}$, получаем $x = \frac{\alpha}{6}$:
$\cos \frac{\alpha}{3} = \cos^2 \frac{\alpha}{6} - \sin^2 \frac{\alpha}{6}$.
Ответ: $\cos^2 \frac{\alpha}{6} - \sin^2 \frac{\alpha}{6}$.

Для преобразования $\tan \frac{\alpha}{4}$ используем формулу тангенса двойного угла $\tan(2x) = \frac{2 \tan x}{1 - \tan^2 x}$. Полагая $\frac{\alpha}{4} = 2 \cdot \frac{\alpha}{8}$, получаем $x = \frac{\alpha}{8}$:
$\tan \frac{\alpha}{4} = \frac{2 \tan \frac{\alpha}{8}}{1 - \tan^2 \frac{\alpha}{8}}$.
Ответ: $\frac{2 \tan \frac{\alpha}{8}}{1 - \tan^2 \frac{\alpha}{8}}$.

г)

Для преобразования $\sin \frac{\alpha}{5}$ используем формулу синуса двойного угла $\sin(2x) = 2 \sin x \cos x$. Полагая $\frac{\alpha}{5} = 2 \cdot \frac{\alpha}{10}$, получаем $x = \frac{\alpha}{10}$:
$\sin \frac{\alpha}{5} = 2 \sin \frac{\alpha}{10} \cos \frac{\alpha}{10}$.
Ответ: $2 \sin \frac{\alpha}{10} \cos \frac{\alpha}{10}$.

Для преобразования $\cos \frac{2\alpha}{7}$ используем формулу косинуса двойного угла $\cos(2x) = \cos^2 x - \sin^2 x$. Полагая $\frac{2\alpha}{7} = 2 \cdot \frac{\alpha}{7}$, получаем $x = \frac{\alpha}{7}$:
$\cos \frac{2\alpha}{7} = \cos^2 \frac{\alpha}{7} - \sin^2 \frac{\alpha}{7}$.
Ответ: $\cos^2 \frac{\alpha}{7} - \sin^2 \frac{\alpha}{7}$.

Для преобразования $\cot \frac{3\alpha}{4}$ используем формулу котангенса двойного угла $\cot(2x) = \frac{\cot^2 x - 1}{2 \cot x}$. Полагая $\frac{3\alpha}{4} = 2 \cdot \frac{3\alpha}{8}$, получаем $x = \frac{3\alpha}{8}$:
$\cot \frac{3\alpha}{4} = \frac{\cot^2 \frac{3\alpha}{8} - 1}{2 \cot \frac{3\alpha}{8}}$.
Ответ: $\frac{\cot^2 \frac{3\alpha}{8} - 1}{2 \cot \frac{3\alpha}{8}}$.