Номер 708, страница 202 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

26. Формулы косинуса, синуса, тангенса и котангенса суммы и разности двух углов. IV. Тригонометрия - номер 708, страница 202.

Условие.

708. Найдите $\alpha + \beta$, если $(1 + \text{tg } \alpha)(1 + \text{tg } \beta) = 2$, причем $\frac{\pi}{2} < \alpha < \pi$, $\frac{\pi}{2} < \beta < \pi$.

Решение.

Решение 2 (rus).

Начнем с преобразования данного уравнения $(1 + \text{tg } \alpha)(1 + \text{tg } \beta) = 2$. Раскроем скобки в левой части:

$1 + \text{tg } \alpha + \text{tg } \beta + \text{tg } \alpha \text{tg } \beta = 2$

Перенесем единицу в правую часть и выразим сумму тангенсов:

$\text{tg } \alpha + \text{tg } \beta = 1 - \text{tg } \alpha \text{tg } \beta$

Это выражение похоже на формулу тангенса суммы двух углов:

$\text{tg}(\alpha + \beta) = \frac{\text{tg } \alpha + \text{tg } \beta}{1 - \text{tg } \alpha \text{tg } \beta}$

Чтобы применить эту формулу, разделим обе части нашего уравнения на $1 - \text{tg } \alpha \text{tg } \beta$. Заметим, что $1 - \text{tg } \alpha \text{tg } \beta \neq 0$. Если бы это было не так, то из уравнения $\text{tg } \alpha + \text{tg } \beta = 1 - \text{tg } \alpha \text{tg } \beta$ следовало бы, что $\text{tg } \alpha + \text{tg } \beta = 0$, то есть $\text{tg } \alpha = -\text{tg } \beta$. Подставив это в $1 - \text{tg } \alpha \text{tg } \beta = 0$, получили бы $1 - (-\text{tg } \beta)\text{tg } \beta = 0$, или $1 + (\text{tg } \beta)^2 = 0$, что невозможно для действительных чисел.

Итак, после деления получаем:

$\frac{\text{tg } \alpha + \text{tg } \beta}{1 - \text{tg } \alpha \text{tg } \beta} = 1$

Следовательно,

$\text{tg}(\alpha + \beta) = 1$

Общее решение этого уравнения имеет вид:

$\alpha + \beta = \frac{\pi}{4} + \pi k$, где $k$ — целое число.

Теперь воспользуемся условиями, наложенными на углы $\alpha$ и $\beta$:

$\frac{\pi}{2} < \alpha < \pi$

$\frac{\pi}{2} < \beta < \pi$

Сложим эти два неравенства, чтобы найти возможный интервал для суммы $\alpha + \beta$:

$\frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{2} < \alpha + \beta < \pi + \pi$

$\pi < \alpha + \beta < 2\pi$

Теперь подставим найденное общее решение в это двойное неравенство, чтобы определить значение $k$:

$\pi < \frac{\pi}{4} + \pi k < 2\pi$

Вычтем $\frac{\pi}{4}$ из всех частей неравенства:

$\pi - \frac{\pi}{4} < \pi k < 2\pi - \frac{\pi}{4}$

$\frac{3\pi}{4} < \pi k < \frac{7\pi}{4}$

Разделим все части на $\pi$:

$\frac{3}{4} < k < \frac{7}{4}$

Единственное целое число $k$, удовлетворяющее этому неравенству, это $k = 1$.

Подставим $k = 1$ в формулу для суммы $\alpha + \beta$:

$\alpha + \beta = \frac{\pi}{4} + \pi \cdot 1 = \frac{5\pi}{4}$

Ответ: $\frac{5\pi}{4}$