Номер 706, страница 201 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

26. Формулы косинуса, синуса, тангенса и котангенса суммы и разности двух углов. IV. Тригонометрия - номер 706, страница 201.

Условие.

706. Выразите $ \sin(\alpha + \beta + \gamma) $ и $ \cos(\alpha + \beta + \gamma) $ через тригонометрические функции углов $ \alpha, \beta, \gamma. $

Решение.

Решение 2 (rus).

sin(α + β + γ)

Для того чтобы выразить $sin(α + β + γ)$ через тригонометрические функции углов $α$, $β$ и $γ$, мы воспользуемся формулой синуса суммы двух углов: $sin(x+y) = sin(x)cos(y) + cos(x)sin(y)$.

Представим аргумент $α + β + γ$ как сумму двух слагаемых: $(α + β) + γ$. Теперь применим формулу синуса суммы, где $x = α + β$ и $y = γ$:
$sin(α + β + γ) = sin((α + β) + γ) = sin(α + β)cos(γ) + cos(α + β)sin(γ)$.

Далее, нам нужно раскрыть выражения $sin(α + β)$ и $cos(α + β)$, используя соответствующие формулы сложения углов:
$sin(α + β) = sin(α)cos(β) + cos(α)sin(β)$
$cos(α + β) = cos(α)cos(β) - sin(α)sin(β)$

Подставим эти раскрытые выражения обратно в нашу основную формулу:
$sin(α + β + γ) = (sin(α)cos(β) + cos(α)sin(β))cos(γ) + (cos(α)cos(β) - sin(α)sin(β))sin(γ)$.

Наконец, раскроем скобки, умножая каждый член на $cos(γ)$ и $sin(γ)$ соответственно:
$sin(α + β + γ) = sin(α)cos(β)cos(γ) + cos(α)sin(β)cos(γ) + cos(α)cos(β)sin(γ) - sin(α)sin(β)sin(γ)$.

Ответ: $sin(α + β + γ) = sin(α)cos(β)cos(γ) + cos(α)sin(β)cos(γ) + cos(α)cos(β)sin(γ) - sin(α)sin(β)sin(γ)$.

cos(α + β + γ)

Аналогичным образом, чтобы выразить $cos(α + β + γ)$, мы воспользуемся формулой косинуса суммы двух углов: $cos(x+y) = cos(x)cos(y) - sin(x)sin(y)$.

Снова представим аргумент $α + β + γ$ как $(α + β) + γ$. Применим формулу косинуса суммы, где $x = α + β$ и $y = γ$:
$cos(α + β + γ) = cos((α + β) + γ) = cos(α + β)cos(γ) - sin(α + β)sin(γ)$.

Теперь подставим уже известные нам выражения для $sin(α + β)$ и $cos(α + β)$:
$cos(α + β + γ) = (cos(α)cos(β) - sin(α)sin(β))cos(γ) - (sin(α)cos(β) + cos(α)sin(β))sin(γ)$.

Раскроем скобки, обращая внимание на знаки:
$cos(α + β + γ) = cos(α)cos(β)cos(γ) - sin(α)sin(β)cos(γ) - sin(α)cos(β)sin(γ) - cos(α)sin(β)sin(γ)$.

Ответ: $cos(α + β + γ) = cos(α)cos(β)cos(γ) - sin(α)sin(β)cos(γ) - sin(α)cos(β)sin(γ) - cos(α)sin(β)sin(γ)$.