Номер 709, страница 202 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

26. Формулы косинуса, синуса, тангенса и котангенса суммы и разности двух углов. IV. Тригонометрия - номер 709, страница 202.

Условие.

709. Докажите тождество:

а) $ \operatorname{tg}(\alpha + \beta) - \operatorname{tg} \alpha - \operatorname{tg} \beta = \operatorname{tg}(\alpha + \beta) \cdot \operatorname{tg} \alpha \cdot \operatorname{tg} \beta; $

б) $ \operatorname{tg} 3\alpha - \operatorname{tg} 2\alpha - \operatorname{tg} \alpha = \operatorname{tg} \alpha \cdot \operatorname{tg} 2\alpha \cdot \operatorname{tg} 3\alpha; $

в) $ \frac{\operatorname{ctg}(\alpha+\beta)-\operatorname{ctg} \beta}{\operatorname{ctg}(\alpha-\beta)+\operatorname{ctg} \beta}=\frac{\sin (\beta-\alpha)}{\sin (\beta+\alpha)}. $

Решение.

Решение 2 (rus).

а) Для доказательства тождества преобразуем известную формулу тангенса суммы:

$ \text{tg}(\alpha + \beta) = \frac{\text{tg}\alpha + \text{tg}\beta}{1 - \text{tg}\alpha \cdot \text{tg}\beta} $

Домножим обе части равенства на знаменатель $ (1 - \text{tg}\alpha \cdot \text{tg}\beta) $, предполагая, что он не равен нулю:

$ \text{tg}(\alpha + \beta) \cdot (1 - \text{tg}\alpha \cdot \text{tg}\beta) = \text{tg}\alpha + \text{tg}\beta $

Раскроем скобки в левой части:

$ \text{tg}(\alpha + \beta) - \text{tg}(\alpha + \beta) \cdot \text{tg}\alpha \cdot \text{tg}\beta = \text{tg}\alpha + \text{tg}\beta $

Перегруппируем слагаемые, чтобы получить доказываемое тождество:

$ \text{tg}(\alpha + \beta) - \text{tg}\alpha - \text{tg}\beta = \text{tg}(\alpha + \beta) \cdot \text{tg}\alpha \cdot \text{tg}\beta $

Тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.

б) Данное тождество является частным случаем тождества из пункта а). Если представить $ 3\alpha $ как сумму $ \alpha + 2\alpha $, то можно применить тот же подход.

Рассмотрим $ \text{tg}(3\alpha) = \text{tg}(\alpha + 2\alpha) $.

По формуле тангенса суммы:

$ \text{tg}(3\alpha) = \frac{\text{tg}\alpha + \text{tg}2\alpha}{1 - \text{tg}\alpha \cdot \text{tg}2\alpha} $

Домножим обе части на знаменатель $ (1 - \text{tg}\alpha \cdot \text{tg}2\alpha) $:

$ \text{tg}(3\alpha) \cdot (1 - \text{tg}\alpha \cdot \text{tg}2\alpha) = \text{tg}\alpha + \text{tg}2\alpha $

Раскроем скобки:

$ \text{tg}(3\alpha) - \text{tg}(3\alpha) \cdot \text{tg}\alpha \cdot \text{tg}2\alpha = \text{tg}\alpha + \text{tg}2\alpha $

Перенесем слагаемые, чтобы привести равенство к требуемому виду:

$ \text{tg}3\alpha - \text{tg}2\alpha - \text{tg}\alpha = \text{tg}\alpha \cdot \text{tg}2\alpha \cdot \text{tg}3\alpha $

Тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.

в) Для доказательства преобразуем левую часть тождества, выразив котангенсы через синусы и косинусы по формуле $ \text{ctg}x = \frac{\cos x}{\sin x} $.

Сначала преобразуем числитель дроби:

$ \text{ctg}(\alpha + \beta) - \text{ctg}\beta = \frac{\cos(\alpha + \beta)}{\sin(\alpha + \beta)} - \frac{\cos\beta}{\sin\beta} = \frac{\cos(\alpha + \beta)\sin\beta - \sin(\alpha + \beta)\cos\beta}{\sin(\alpha + \beta)\sin\beta} $

Числитель полученного выражения представляет собой формулу синуса разности $ \sin(x - y) = \sin x \cos y - \cos x \sin y $, где $ x = \beta $ и $ y = \alpha + \beta $.

Следовательно, числитель равен $ \sin(\beta - (\alpha + \beta)) = \sin(\beta - \alpha - \beta) = \sin(-\alpha) = -\sin\alpha $.

Таким образом, весь числитель исходной дроби равен $ \frac{-\sin\alpha}{\sin(\alpha + \beta)\sin\beta} $.

Теперь преобразуем знаменатель исходной дроби:

$ \text{ctg}(\alpha - \beta) + \text{ctg}\beta = \frac{\cos(\alpha - \beta)}{\sin(\alpha - \beta)} + \frac{\cos\beta}{\sin\beta} = \frac{\cos(\alpha - \beta)\sin\beta + \sin(\alpha - \beta)\cos\beta}{\sin(\alpha - \beta)\sin\beta} $

Числитель этого выражения представляет собой формулу синуса суммы $ \sin(x + y) = \sin x \cos y + \cos x \sin y $, где $ x = \alpha - \beta $ и $ y = \beta $.

Следовательно, числитель равен $ \sin((\alpha - \beta) + \beta) = \sin\alpha $.

Таким образом, весь знаменатель исходной дроби равен $ \frac{\sin\alpha}{\sin(\alpha - \beta)\sin\beta} $.

Теперь разделим преобразованный числитель на преобразованный знаменатель:

$ \frac{\frac{-\sin\alpha}{\sin(\alpha + \beta)\sin\beta}}{\frac{\sin\alpha}{\sin(\alpha - \beta)\sin\beta}} = \frac{-\sin\alpha}{\sin(\alpha + \beta)\sin\beta} \cdot \frac{\sin(\alpha - \beta)\sin\beta}{\sin\alpha} = \frac{-\sin(\alpha - \beta)}{\sin(\alpha + \beta)} $

Используя свойство нечетности синуса $ -\sin x = \sin(-x) $, получаем:

$ \frac{\sin(-(\alpha - \beta))}{\sin(\alpha + \beta)} = \frac{\sin(\beta - \alpha)}{\sin(\alpha + \beta)} $

Так как $ \sin(\alpha + \beta) = \sin(\beta + \alpha) $, левая часть тождества равна правой. Тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.