Номер 702, страница 201 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

26. Формулы косинуса, синуса, тангенса и котангенса суммы и разности двух углов. IV. Тригонометрия - номер 702, страница 201.

Условие.

702. Найдите все значения x, удовлетворяющие соотношению:

a) $\sin 3x \cdot \cos x + \cos 3x \cdot \sin x = 0;$

б) $\cos 5x \cdot \cos 3x + \sin 5x \cdot \sin 3x = 0.$

Решение.

Решение 2 (rus).

а)

Данное уравнение имеет вид $sin\alpha \cdot cos\beta + cos\alpha \cdot sin\beta = 0$, где $\alpha = 3x$ и $\beta = x$.

Мы можем использовать формулу синуса суммы: $sin(\alpha + \beta) = sin\alpha \cdot cos\beta + cos\alpha \cdot sin\beta$.

Применив эту формулу к нашему уравнению, мы получаем:

$sin(3x + x) = 0$

$sin(4x) = 0$

Это простейшее тригонометрическое уравнение. Его решение имеет вид:

$4x = n\pi$, где $n \in \mathbb{Z}$ (n - любое целое число).

Чтобы найти x, разделим обе части уравнения на 4:

$x = \frac{n\pi}{4}$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \frac{n\pi}{4}$, где $n \in \mathbb{Z}$.

б)

Данное уравнение имеет вид $cos\alpha \cdot cos\beta + sin\alpha \cdot sin\beta = 0$, где $\alpha = 5x$ и $\beta = 3x$.

Мы можем использовать формулу косинуса разности: $cos(\alpha - \beta) = cos\alpha \cdot cos\beta + sin\alpha \cdot sin\beta$.

Применив эту формулу к нашему уравнению, мы получаем:

$cos(5x - 3x) = 0$

$cos(2x) = 0$

Это простейшее тригонометрическое уравнение. Его решение имеет вид:

$2x = \frac{\pi}{2} + n\pi$, где $n \in \mathbb{Z}$ (n - любое целое число).

Чтобы найти x, разделим обе части уравнения на 2:

$x = \frac{\pi}{4} + \frac{n\pi}{2}$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \frac{\pi}{4} + \frac{n\pi}{2}$, где $n \in \mathbb{Z}$.