Номер 698, страница 201 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

26. Формулы косинуса, синуса, тангенса и котангенса суммы и разности двух углов. IV. Тригонометрия - номер 698, страница 201.

Условие.

698. Дано: $\cos \alpha = -\frac{8}{17}$, $\cos \beta = \frac{4}{5}$, $\pi < \alpha < \frac{3\pi}{2}$, $\frac{3\pi}{2} < \beta < 2\pi$. Найдите:

а) $\sin(\alpha + \beta)$;

б) $\cos(\alpha - \beta)$. Каким четвертям принадлежат углы $\alpha + \beta$ и $\alpha - \beta$?

Решение.

Решение 2 (rus).

Для решения задачи нам понадобятся значения $sin \alpha$ и $sin \beta$.

1. Найдем $sin \alpha$. Известно, что $\cos \alpha = -\frac{8}{17}$ и $\pi < \alpha < \frac{3\pi}{2}$. Это означает, что угол $\alpha$ находится в III (третьей) четверти, где синус является отрицательной величиной.

Используем основное тригонометрическое тождество $sin^2 \alpha + cos^2 \alpha = 1$:

$sin^2 \alpha = 1 - cos^2 \alpha = 1 - (-\frac{8}{17})^2 = 1 - \frac{64}{289} = \frac{289 - 64}{289} = \frac{225}{289}$

Отсюда $sin \alpha = \pm\sqrt{\frac{225}{289}} = \pm\frac{15}{17}$.

Так как угол $\alpha$ принадлежит третьей четверти, $sin \alpha < 0$, следовательно, $sin \alpha = -\frac{15}{17}$.

2. Найдем $sin \beta$. Известно, что $\cos \beta = \frac{4}{5}$ и $\frac{3\pi}{2} < \beta < 2\pi$. Это означает, что угол $\beta$ находится в IV (четвертой) четверти, где синус также является отрицательной величиной.

Используем основное тригонометрическое тождество $sin^2 \beta + cos^2 \beta = 1$:

$sin^2 \beta = 1 - cos^2 \beta = 1 - (\frac{4}{5})^2 = 1 - \frac{16}{25} = \frac{25 - 16}{25} = \frac{9}{25}$

Отсюда $sin \beta = \pm\sqrt{\frac{9}{25}} = \pm\frac{3}{5}$.

Так как угол $\beta$ принадлежит четвертой четверти, $sin \beta < 0$, следовательно, $sin \beta = -\frac{3}{5}$.

Теперь мы можем перейти к вычислению требуемых выражений.

а) $sin(\alpha + \beta)$

Используем формулу синуса суммы углов: $sin(\alpha + \beta) = sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha sin \beta$.

Подставляем найденные и данные значения:

$sin(\alpha + \beta) = (-\frac{15}{17}) \cdot \frac{4}{5} + (-\frac{8}{17}) \cdot (-\frac{3}{5}) = -\frac{60}{85} + \frac{24}{85} = -\frac{36}{85}$

Чтобы определить, какой четверти принадлежит угол $\alpha + \beta$, найдем знак $cos(\alpha + \beta)$. Используем формулу косинуса суммы углов: $cos(\alpha + \beta) = \cos \alpha \cos \beta - sin \alpha sin \beta$.

$cos(\alpha + \beta) = (-\frac{8}{17}) \cdot \frac{4}{5} - (-\frac{15}{17}) \cdot (-\frac{3}{5}) = -\frac{32}{85} - \frac{45}{85} = -\frac{77}{85}$

Поскольку $sin(\alpha + \beta) < 0$ и $cos(\alpha + \beta) < 0$, угол $\alpha + \beta$ принадлежит III (третьей) четверти.

Ответ: $sin(\alpha + \beta) = -\frac{36}{85}$; угол $\alpha + \beta$ принадлежит третьей четверти.

б) $cos(\alpha - \beta)$

Используем формулу косинуса разности углов: $cos(\alpha - \beta) = \cos \alpha \cos \beta + sin \alpha sin \beta$.

Подставляем значения:

$cos(\alpha - \beta) = (-\frac{8}{17}) \cdot \frac{4}{5} + (-\frac{15}{17}) \cdot (-\frac{3}{5}) = -\frac{32}{85} + \frac{45}{85} = \frac{13}{85}$

Чтобы определить, какой четверти принадлежит угол $\alpha - \beta$, найдем знак $sin(\alpha - \beta)$. Используем формулу синуса разности углов: $sin(\alpha - \beta) = sin \alpha \cos \beta - \cos \alpha sin \beta$.

$sin(\alpha - \beta) = (-\frac{15}{17}) \cdot \frac{4}{5} - (-\frac{8}{17}) \cdot (-\frac{3}{5}) = -\frac{60}{85} - \frac{24}{85} = -\frac{84}{85}$

Поскольку $cos(\alpha - \beta) > 0$ и $sin(\alpha - \beta) < 0$, угол $\alpha - \beta$ принадлежит IV (четвертой) четверти.

Ответ: $cos(\alpha - \beta) = \frac{13}{85}$; угол $\alpha - \beta$ принадлежит четвертой четверти.