Номер 692, страница 200 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

26. Формулы косинуса, синуса, тангенса и котангенса суммы и разности двух углов. IV. Тригонометрия - номер 692, страница 200.

Условие.

692. Докажите тождество:

a) $\frac{\sin(30^\circ + \alpha) - \cos(60^\circ + \alpha)}{\sin(30^\circ + \alpha) + \cos(60^\circ + \alpha)} = \sqrt{3} \text{tg} \alpha;$

б) $\frac{2 \sin \alpha \cdot \cos \beta - \sin(\alpha - \beta)}{\cos(\alpha - \beta) - 2 \sin \alpha \cdot \sin \beta} = \text{tg}(\alpha + \beta).$

Решение.

Решение 2 (rus).

а)

Для доказательства тождества преобразуем его левую часть.

Воспользуемся формулой приведения для косинуса: $\cos(x) = \sin(90^\circ - x)$. Применим ее к выражению $\cos(60^\circ + \alpha)$:
$\cos(60^\circ + \alpha) = \sin(90^\circ - (60^\circ + \alpha)) = \sin(90^\circ - 60^\circ - \alpha) = \sin(30^\circ - \alpha)$.

Подставим полученное выражение в левую часть исходного тождества:
$\frac{\sin(30^\circ + \alpha) - \sin(30^\circ - \alpha)}{\sin(30^\circ + \alpha) + \sin(30^\circ - \alpha)}$

Теперь применим формулы преобразования суммы и разности синусов в произведение:
$\sin(A) - \sin(B) = 2 \sin\left(\frac{A-B}{2}\right) \cos\left(\frac{A+B}{2}\right)$
$\sin(A) + \sin(B) = 2 \sin\left(\frac{A+B}{2}\right) \cos\left(\frac{A-B}{2}\right)$

В нашем случае $A = 30^\circ + \alpha$ и $B = 30^\circ - \alpha$. Найдем значения для аргументов:
$\frac{A+B}{2} = \frac{(30^\circ + \alpha) + (30^\circ - \alpha)}{2} = \frac{60^\circ}{2} = 30^\circ$
$\frac{A-B}{2} = \frac{(30^\circ + \alpha) - (30^\circ - \alpha)}{2} = \frac{2\alpha}{2} = \alpha$

Подставим эти значения в формулы для числителя и знаменателя:
Числитель: $\sin(30^\circ + \alpha) - \sin(30^\circ - \alpha) = 2 \sin(\alpha) \cos(30^\circ)$
Знаменатель: $\sin(30^\circ + \alpha) + \sin(30^\circ - \alpha) = 2 \sin(30^\circ) \cos(\alpha)$

Получаем дробь:
$\frac{2 \sin(\alpha) \cos(30^\circ)}{2 \sin(30^\circ) \cos(\alpha)} = \frac{\cos(30^\circ)}{\sin(30^\circ)} \cdot \frac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)} = \cot(30^\circ) \cdot \tan(\alpha)$

Мы знаем, что $\cot(30^\circ) = \sqrt{3}$. Следовательно, выражение равно $\sqrt{3} \tan \alpha$.

Левая часть равна правой, тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.

б)

Для доказательства тождества преобразуем его левую часть.

Воспользуемся формулами синуса и косинуса разности углов:
$\sin(\alpha - \beta) = \sin \alpha \cos \beta - \cos \alpha \sin \beta$
$\cos(\alpha - \beta) = \cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta$

Подставим эти формулы в числитель и знаменатель левой части тождества.

Преобразуем числитель:
$2 \sin \alpha \cos \beta - \sin(\alpha - \beta) = 2 \sin \alpha \cos \beta - (\sin \alpha \cos \beta - \cos \alpha \sin \beta)$
$= 2 \sin \alpha \cos \beta - \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta = \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta$
Полученное выражение является формулой синуса суммы: $\sin(\alpha + \beta)$.

Преобразуем знаменатель:
$\cos(\alpha - \beta) - 2 \sin \alpha \sin \beta = (\cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta) - 2 \sin \alpha \sin \beta$
$= \cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta$
Полученное выражение является формулой косинуса суммы: $\cos(\alpha + \beta)$.

Теперь подставим преобразованные числитель и знаменатель обратно в дробь:
$\frac{\sin(\alpha + \beta)}{\cos(\alpha + \beta)}$

По определению тангенса, $\frac{\sin(x)}{\cos(x)} = \tan(x)$, поэтому левая часть равна $\tan(\alpha + \beta)$.

Левая часть равна правой, тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.