Номер 699, страница 201 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

26. Формулы косинуса, синуса, тангенса и котангенса суммы и разности двух углов. IV. Тригонометрия - номер 699, страница 201.

Условие.

699. Выразите через функции угла $\alpha$:

a) $\sin 3\alpha$;

б) $\cos 3\alpha$;

в) $\operatorname{tg} 3\alpha$.

Решение.

Решение 2 (rus).

а) Для того чтобы выразить $sin(3\alpha)$ через функции угла $\alpha$, представим $3\alpha$ в виде суммы $2\alpha + \alpha$ и воспользуемся формулой синуса суммы: $sin(x+y) = sin(x)cos(y) + cos(x)sin(y)$.

$sin(3\alpha) = sin(2\alpha + \alpha) = sin(2\alpha)cos(\alpha) + cos(2\alpha)sin(\alpha)$

Теперь применим формулы двойного угла для $sin(2\alpha)$ и $cos(2\alpha)$:

$sin(2\alpha) = 2sin(\alpha)cos(\alpha)$

$cos(2\alpha) = cos^2(\alpha) - sin^2(\alpha)$

Подставим эти выражения в нашу формулу:

$sin(3\alpha) = (2sin(\alpha)cos(\alpha))cos(\alpha) + (cos^2(\alpha) - sin^2(\alpha))sin(\alpha)$

Раскроем скобки и упростим:

$sin(3\alpha) = 2sin(\alpha)cos^2(\alpha) + sin(\alpha)cos^2(\alpha) - sin^3(\alpha)$

$sin(3\alpha) = 3sin(\alpha)cos^2(\alpha) - sin^3(\alpha)$

Чтобы выразить всё через синус, используем основное тригонометрическое тождество $cos^2(\alpha) = 1 - sin^2(\alpha)$:

$sin(3\alpha) = 3sin(\alpha)(1 - sin^2(\alpha)) - sin^3(\alpha)$

$sin(3\alpha) = 3sin(\alpha) - 3sin^3(\alpha) - sin^3(\alpha)$

$sin(3\alpha) = 3sin(\alpha) - 4sin^3(\alpha)$

Ответ: $sin(3\alpha) = 3sin(\alpha) - 4sin^3(\alpha)$

б) Аналогично выразим $cos(3\alpha)$, используя формулу косинуса суммы: $cos(x+y) = cos(x)cos(y) - sin(x)sin(y)$.

$cos(3\alpha) = cos(2\alpha + \alpha) = cos(2\alpha)cos(\alpha) - sin(2\alpha)sin(\alpha)$

Используем формулы двойного угла:

$cos(2\alpha) = cos^2(\alpha) - sin^2(\alpha)$

$sin(2\alpha) = 2sin(\alpha)cos(\alpha)$

Подставляем:

$cos(3\alpha) = (cos^2(\alpha) - sin^2(\alpha))cos(\alpha) - (2sin(\alpha)cos(\alpha))sin(\alpha)$

Раскрываем скобки:

$cos(3\alpha) = cos^3(\alpha) - sin^2(\alpha)cos(\alpha) - 2sin^2(\alpha)cos(\alpha)$

$cos(3\alpha) = cos^3(\alpha) - 3sin^2(\alpha)cos(\alpha)$

Теперь выразим всё через косинус, используя тождество $sin^2(\alpha) = 1 - cos^2(\alpha)$:

$cos(3\alpha) = cos^3(\alpha) - 3(1 - cos^2(\alpha))cos(\alpha)$

$cos(3\alpha) = cos^3(\alpha) - (3cos(\alpha) - 3cos^3(\alpha))$

$cos(3\alpha) = cos^3(\alpha) - 3cos(\alpha) + 3cos^3(\alpha)$

$cos(3\alpha) = 4cos^3(\alpha) - 3cos(\alpha)$

Ответ: $cos(3\alpha) = 4cos^3(\alpha) - 3cos(\alpha)$

в) Чтобы найти формулу для $tg(3\alpha)$, можно использовать результаты для синуса и косинуса тройного угла или применить формулу тангенса суммы: $tg(x+y) = \frac{tg(x)+tg(y)}{1-tg(x)tg(y)}$. Второй способ проще.

$tg(3\alpha) = tg(2\alpha + \alpha) = \frac{tg(2\alpha) + tg(\alpha)}{1 - tg(2\alpha)tg(\alpha)}$

Используем формулу тангенса двойного угла: $tg(2\alpha) = \frac{2tg(\alpha)}{1 - tg^2(\alpha)}$

Подставим это выражение в формулу для $tg(3\alpha)$:

$tg(3\alpha) = \frac{\frac{2tg(\alpha)}{1 - tg^2(\alpha)} + tg(\alpha)}{1 - \frac{2tg(\alpha)}{1 - tg^2(\alpha)} \cdot tg(\alpha)}$

Преобразуем числитель:

$\frac{2tg(\alpha)}{1 - tg^2(\alpha)} + tg(\alpha) = \frac{2tg(\alpha) + tg(\alpha)(1 - tg^2(\alpha))}{1 - tg^2(\alpha)} = \frac{2tg(\alpha) + tg(\alpha) - tg^3(\alpha)}{1 - tg^2(\alpha)} = \frac{3tg(\alpha) - tg^3(\alpha)}{1 - tg^2(\alpha)}$

Преобразуем знаменатель:

$1 - \frac{2tg^2(\alpha)}{1 - tg^2(\alpha)} = \frac{1 - tg^2(\alpha) - 2tg^2(\alpha)}{1 - tg^2(\alpha)} = \frac{1 - 3tg^2(\alpha)}{1 - tg^2(\alpha)}$

Теперь разделим числитель на знаменатель:

$tg(3\alpha) = \frac{\frac{3tg(\alpha) - tg^3(\alpha)}{1 - tg^2(\alpha)}}{\frac{1 - 3tg^2(\alpha)}{1 - tg^2(\alpha)}} = \frac{3tg(\alpha) - tg^3(\alpha)}{1 - 3tg^2(\alpha)}$

Ответ: $tg(3\alpha) = \frac{3tg(\alpha) - tg^3(\alpha)}{1 - 3tg^2(\alpha)}$