Номер 703, страница 201 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

26. Формулы косинуса, синуса, тангенса и котангенса суммы и разности двух углов. IV. Тригонометрия - номер 703, страница 201.

Условие.

703. Докажите, что если $\alpha, \beta, \gamma$ - углы треугольника, то $\cot \beta + \frac{\cos \gamma}{\sin \beta \cdot \cos \alpha} = \tan \alpha.$

Решение.

Решение 2 (rus).

Поскольку $\alpha$, $\beta$ и $\gamma$ являются углами треугольника, их сумма равна $\pi$ радиан (или 180°).

$\alpha + \beta + \gamma = \pi$

Из этого соотношения мы можем выразить угол $\gamma$ через $\alpha$ и $\beta$:

$\gamma = \pi - (\alpha + \beta)$

Теперь преобразуем левую часть доказываемого тождества, используя это соотношение.

Левая часть: $\text{ctg } \beta + \frac{\cos \gamma}{\sin \beta \cdot \cos \alpha}$

Подставим выражение для $\gamma$:

$\text{ctg } \beta + \frac{\cos(\pi - (\alpha + \beta))}{\sin \beta \cdot \cos \alpha}$

Используем формулу приведения $\cos(\pi - x) = -\cos x$:

$\text{ctg } \beta - \frac{\cos(\alpha + \beta)}{\sin \beta \cdot \cos \alpha}$

Теперь раскроем $\cos(\alpha + \beta)$ по формуле косинуса суммы: $\cos(\alpha + \beta) = \cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta$.

$\text{ctg } \beta - \frac{\cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta}{\sin \beta \cdot \cos \alpha}$

Заменим $\text{ctg } \beta$ на $\frac{\cos \beta}{\sin \beta}$ и приведем выражение к общему знаменателю $\sin \beta \cdot \cos \alpha$:

$\frac{\cos \beta}{\sin \beta} - \frac{\cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta}{\sin \beta \cdot \cos \alpha} = \frac{\cos \beta \cdot \cos \alpha}{\sin \beta \cdot \cos \alpha} - \frac{\cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta}{\sin \beta \cdot \cos \alpha}$

Объединим дроби, вычитая числители:

$\frac{\cos \alpha \cos \beta - (\cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta)}{\sin \beta \cdot \cos \alpha}$

Раскроем скобки в числителе:

$\frac{\cos \alpha \cos \beta - \cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta}{\sin \beta \cdot \cos \alpha}$

Сократим подобные члены в числителе:

$\frac{\sin \alpha \sin \beta}{\sin \beta \cdot \cos \alpha}$

Поскольку $\beta$ — это угол треугольника, то $0 < \beta < \pi$, следовательно $\sin \beta \ne 0$, и мы можем сократить дробь на $\sin \beta$:

$\frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}$

Полученное выражение по определению является тангенсом угла $\alpha$:

$\frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \text{tg } \alpha$

Мы преобразовали левую часть равенства и получили правую часть. Таким образом, тождество доказано.

Ответ: Утверждение доказано.