Номер 701, страница 201 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

26. Формулы косинуса, синуса, тангенса и котангенса суммы и разности двух углов. IV. Тригонометрия - номер 701, страница 201.

Условие.

701. Существует ли значение $\alpha$, при котором верно равенство $\sin \alpha + \cos \alpha = 2$?

Решение.

Решение 2 (rus).

Для того чтобы ответить на вопрос, существует ли значение $α$, при котором верно равенство $\sin \alpha + \cos \alpha = 2$, мы можем проанализировать это уравнение несколькими способами.

Рассмотрим первый способ, основанный на анализе области значений тригонометрических функций.
Известно, что функции синуса и косинуса принимают значения в диапазоне от -1 до 1 включительно. То есть, для любого действительного угла $α$ верны неравенства:
$ -1 \le \sin \alpha \le 1 $
$ -1 \le \cos \alpha \le 1 $
Сумма $\sin \alpha + \cos \alpha$ может быть равна 2 только в том случае, если оба слагаемых одновременно принимают свои максимально возможные значения, равные 1. Таким образом, для выполнения равенства необходимо, чтобы одновременно выполнялись два условия:
$\sin \alpha = 1$ и $\cos \alpha = 1$.
Однако, согласно основному тригонометрическому тождеству, $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$. Если мы подставим в него предполагаемые значения $\sin \alpha = 1$ и $\cos \alpha = 1$, мы получим:
$1^2 + 1^2 = 1+1 = 2$.
Полученное равенство $2 = 1$ является ложным. Это означает, что не существует такого угла $α$, для которого синус и косинус одновременно равны 1. Следовательно, их сумма никогда не может быть равна 2.

Рассмотрим второй способ, использующий метод введения вспомогательного угла.
Мы можем преобразовать левую часть уравнения $\sin \alpha + \cos \alpha$. Умножим и разделим выражение на $\sqrt{1^2+1^2} = \sqrt{2}$:
$\sin \alpha + \cos \alpha = \sqrt{2} \left( \frac{1}{\sqrt{2}}\sin \alpha + \frac{1}{\sqrt{2}}\cos \alpha \right)$
Поскольку $\cos\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{1}{\sqrt{2}}$ и $\sin\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{1}{\sqrt{2}}$, мы можем переписать выражение, используя формулу синуса суммы $\sin(x+y) = \sin x \cos y + \cos x \sin y$:
$\sqrt{2} \left( \sin \alpha \cos\left(\frac{\pi}{4}\right) + \cos \alpha \sin\left(\frac{\pi}{4}\right) \right) = \sqrt{2}\sin\left(\alpha + \frac{\pi}{4}\right)$
Теперь исходное уравнение принимает вид:
$\sqrt{2}\sin\left(\alpha + \frac{\pi}{4}\right) = 2$
Выразим синус:
$\sin\left(\alpha + \frac{\pi}{4}\right) = \frac{2}{\sqrt{2}} = \sqrt{2}$
Значение $\sqrt{2} \approx 1.414$, что больше 1. Так как область значений функции синус — это отрезок $[-1, 1]$, то не существует угла, синус которого был бы равен $\sqrt{2}$. Следовательно, уравнение не имеет решений.

Оба способа приводят к одному и тому же выводу: равенство не может быть верным ни при каком значении $α$.
Ответ: Нет, такого значения $α$ не существует.