Номер 712, страница 205 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

27. Формулы тригонометрических функций двойного и половинного углов. IV. Тригонометрия - номер 712, страница 205.

Условие.

712. Найдите значение выражения:

а) $8\sin 15^\circ \cdot \cos 15^\circ;$

б) $4\sin 22^\circ 30' \cdot \cos 22^\circ 30';$

в) $\sin 15^\circ \cdot \cos 15^\circ;$

г) $\sin^2 15^\circ - \cos^2 15^\circ;$

д) $\sqrt{2} (\cos^2 22.5^\circ - \sin^2 22.5^\circ);$

е) $2\tan 15^\circ : (1 - \tan^2 15^\circ).$

Решение.

Решение 2 (rus).

а) Для решения используем формулу синуса двойного угла: $ \sin(2\alpha) = 2\sin(\alpha)\cos(\alpha) $.
Выражение $ 8\sin 15^\circ \cdot \cos 15^\circ $ можно преобразовать:
$ 8\sin 15^\circ \cos 15^\circ = 4 \cdot (2\sin 15^\circ \cos 15^\circ) $.
Применяем формулу, где $ \alpha = 15^\circ $:
$ 4 \cdot \sin(2 \cdot 15^\circ) = 4 \cdot \sin(30^\circ) $.
Так как $ \sin(30^\circ) = \frac{1}{2} $, получаем:
$ 4 \cdot \frac{1}{2} = 2 $.
Ответ: 2

б) Используем ту же формулу синуса двойного угла $ \sin(2\alpha) = 2\sin(\alpha)\cos(\alpha) $.
Сначала переведем минуты в градусы: $ 22^\circ30' = 22,5^\circ $.
Преобразуем выражение $ 4\sin 22,5^\circ \cdot \cos 22,5^\circ $:
$ 4\sin 22,5^\circ \cos 22,5^\circ = 2 \cdot (2\sin 22,5^\circ \cos 22,5^\circ) $.
Применяем формулу, где $ \alpha = 22,5^\circ $:
$ 2 \cdot \sin(2 \cdot 22,5^\circ) = 2 \cdot \sin(45^\circ) $.
Так как $ \sin(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2} $, получаем:
$ 2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \sqrt{2} $.
Ответ: $ \sqrt{2} $

в) Снова применяем формулу синуса двойного угла $ \sin(2\alpha) = 2\sin(\alpha)\cos(\alpha) $.
Из этой формулы следует, что $ \sin(\alpha)\cos(\alpha) = \frac{1}{2}\sin(2\alpha) $.
В нашем случае $ \alpha = 15^\circ $:
$ \sin 15^\circ \cos 15^\circ = \frac{1}{2}\sin(2 \cdot 15^\circ) = \frac{1}{2}\sin(30^\circ) $.
Так как $ \sin(30^\circ) = \frac{1}{2} $, получаем:
$ \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{4} $.
Ответ: $ \frac{1}{4} $

г) Для решения используем формулу косинуса двойного угла: $ \cos(2\alpha) = \cos^2(\alpha) - \sin^2(\alpha) $.
Выражение $ \sin^2 15^\circ - \cos^2 15^\circ $ является противоположным по знаку к формуле косинуса двойного угла:
$ \sin^2 15^\circ - \cos^2 15^\circ = -(\cos^2 15^\circ - \sin^2 15^\circ) $.
Применяем формулу, где $ \alpha = 15^\circ $:
$ - \cos(2 \cdot 15^\circ) = - \cos(30^\circ) $.
Так как $ \cos(30^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2} $, получаем:
$ -\frac{\sqrt{3}}{2} $.
Ответ: $ -\frac{\sqrt{3}}{2} $

д) Используем формулу косинуса двойного угла $ \cos(2\alpha) = \cos^2(\alpha) - \sin^2(\alpha) $.
В выражении $ \sqrt{2} (\cos^2 22,5^\circ - \sin^2 22,5^\circ) $ часть в скобках соответствует этой формуле при $ \alpha = 22,5^\circ $.
$ \cos^2 22,5^\circ - \sin^2 22,5^\circ = \cos(2 \cdot 22,5^\circ) = \cos(45^\circ) $.
Подставляем это в исходное выражение:
$ \sqrt{2} \cdot \cos(45^\circ) $.
Так как $ \cos(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2} $, получаем:
$ \sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{2}{2} = 1 $.
Ответ: 1

е) Для решения используем формулу тангенса двойного угла: $ \tg(2\alpha) = \frac{2\tg(\alpha)}{1 - \tg^2(\alpha)} $.
Выражение $ 2\tg 15^\circ : (1 - \tg^2 15^\circ) $ можно записать в виде дроби:
$ \frac{2\tg 15^\circ}{1 - \tg^2 15^\circ} $.
Это в точности формула тангенса двойного угла, где $ \alpha = 15^\circ $.
$ \tg(2 \cdot 15^\circ) = \tg(30^\circ) $.
Значение $ \tg(30^\circ) = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3} $.
Ответ: $ \frac{\sqrt{3}}{3} $