Номер 719, страница 206 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

27. Формулы тригонометрических функций двойного и половинного углов. IV. Тригонометрия - номер 719, страница 206.

Условие.

719. а) Докажите, что $\sin 2\alpha < 2\sin \alpha$, если $0 < \alpha < \frac{\pi}{2}$.

б) Докажите, что $\operatorname{tg} 2\alpha > 2\operatorname{tg} \alpha$, если $0 < \alpha < \frac{\pi}{4}$.

720. Найдите значение выражения:

Решение.

Решение 2 (rus).

а) Докажите, что $\sin 2\alpha < 2\sin \alpha$, если $0 < \alpha < \frac{\pi}{2}$.

Для доказательства воспользуемся формулой синуса двойного угла: $\sin 2\alpha = 2\sin\alpha\cos\alpha$.

Подставим это выражение в исходное неравенство: $2\sin\alpha\cos\alpha < 2\sin\alpha$.

Согласно условию, угол $\alpha$ находится в интервале $0 < \alpha < \frac{\pi}{2}$, что соответствует первой координатной четверти. В этом интервале $\sin\alpha$ принимает строго положительные значения, то есть $\sin\alpha > 0$.

Поскольку $2\sin\alpha > 0$, мы можем разделить обе части неравенства на $2\sin\alpha$ без изменения знака неравенства: $\frac{2\sin\alpha\cos\alpha}{2\sin\alpha} < \frac{2\sin\alpha}{2\sin\alpha}$ $\cos\alpha < 1$.

Для любого угла $\alpha$ из интервала $(0, \frac{\pi}{2})$, значение косинуса всегда строго меньше 1. Равенство $\cos\alpha = 1$ достигается только при $\alpha = 2\pi k$ для целых $k$, что не входит в заданный интервал.

Так как мы пришли к истинному неравенству $\cos\alpha < 1$ с помощью равносильных преобразований, то и исходное неравенство $\sin 2\alpha < 2\sin\alpha$ является верным для заданных условий.

Ответ: Что и требовалось доказать.

б) Докажите, что $\mathrm{tg}\,2\alpha > 2\mathrm{tg}\,\alpha$, если $0 < \alpha < \frac{\pi}{4}$.

Для доказательства воспользуемся формулой тангенса двойного угла: $\mathrm{tg}\,2\alpha = \frac{2\mathrm{tg}\,\alpha}{1 - \mathrm{tg}^2\alpha}$.

Подставим это выражение в доказываемое неравенство: $\frac{2\mathrm{tg}\,\alpha}{1 - \mathrm{tg}^2\alpha} > 2\mathrm{tg}\,\alpha$.

Рассмотрим условия для угла $\alpha$: $0 < \alpha < \frac{\pi}{4}$. В этом интервале функция тангенса возрастает, поэтому $0 < \mathrm{tg}\,\alpha < \mathrm{tg}\,\frac{\pi}{4}$, что равносильно $0 < \mathrm{tg}\,\alpha < 1$.

Из $0 < \mathrm{tg}\,\alpha < 1$ следует, что $\mathrm{tg}\,\alpha > 0$. Значит, мы можем разделить обе части неравенства на положительное число $2\mathrm{tg}\,\alpha$: $\frac{1}{1 - \mathrm{tg}^2\alpha} > 1$.

Также из $0 < \mathrm{tg}\,\alpha < 1$ следует, что $0 < \mathrm{tg}^2\alpha < 1$. Поэтому знаменатель $1 - \mathrm{tg}^2\alpha$ является положительным числом. Мы можем умножить обе части неравенства на этот знаменатель, сохранив знак неравенства: $1 > 1 \cdot (1 - \mathrm{tg}^2\alpha)$ $1 > 1 - \mathrm{tg}^2\alpha$.

Перенесем члены неравенства, чтобы выделить $\mathrm{tg}^2\alpha$: $\mathrm{tg}^2\alpha > 1 - 1$ $\mathrm{tg}^2\alpha > 0$.

Поскольку для $0 < \alpha < \frac{\pi}{4}$ значение $\mathrm{tg}\,\alpha$ строго положительно, его квадрат $\mathrm{tg}^2\alpha$ также будет строго положителен.

Мы пришли к верному неравенству, выполнив равносильные преобразования, следовательно, исходное неравенство $\mathrm{tg}\,2\alpha > 2\mathrm{tg}\,\alpha$ также верно.

Ответ: Что и требовалось доказать.