Номер 732, страница 208 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

27. Формулы тригонометрических функций двойного и половинного углов. IV. Тригонометрия - номер 732, страница 208.

Условие.

732. Найдите наибольшее и наименьшее значения выражения:

a) $5 - 4\sin x \cos x$;

б) $3(\sin 2x + \cos 2x)^2$.

Решение.

Решение 2 (rus).

а) Чтобы найти наибольшее и наименьшее значения выражения $ 5 - 4\sin x \cos x $, преобразуем его, используя формулу синуса двойного угла $ \sin(2\alpha) = 2\sin\alpha\cos\alpha $.
$ 5 - 4\sin x \cos x = 5 - 2(2\sin x \cos x) = 5 - 2\sin(2x) $.
Мы знаем, что область значений функции синус находится в промежутке от -1 до 1, то есть $ -1 \le \sin(2x) \le 1 $.
Чтобы найти наименьшее значение всего выражения, мы должны вычесть из 5 наибольшее возможное значение $ 2\sin(2x) $. Это произойдет, когда $ \sin(2x) = 1 $.
Наименьшее значение: $ 5 - 2 \cdot 1 = 3 $.
Чтобы найти наибольшее значение всего выражения, мы должны вычесть из 5 наименьшее возможное значение $ 2\sin(2x) $. Это произойдет, когда $ \sin(2x) = -1 $.
Наибольшее значение: $ 5 - 2 \cdot (-1) = 5 + 2 = 7 $.
Ответ: наибольшее значение 7, наименьшее значение 3.

б) Чтобы найти наибольшее и наименьшее значения выражения $ 3(\sin 2x + \cos 2x)^2 $, сначала упростим выражение в скобках.
Раскроем квадрат суммы: $ (\sin 2x + \cos 2x)^2 = \sin^2 2x + 2\sin 2x \cos 2x + \cos^2 2x $.
Используя основное тригонометрическое тождество $ \sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1 $ и формулу синуса двойного угла $ \sin(2\alpha) = 2\sin\alpha\cos\alpha $, получим:
$ (\sin^2 2x + \cos^2 2x) + 2\sin 2x \cos 2x = 1 + \sin(2 \cdot 2x) = 1 + \sin(4x) $.
Таким образом, исходное выражение равно $ 3(1 + \sin(4x)) $.
Область значений функции синус $ \sin(4x) $ находится в промежутке $ [-1; 1] $.
Наименьшее значение выражения достигается при наименьшем значении $ (1 + \sin(4x)) $. Это произойдет, когда $ \sin(4x) = -1 $.
Наименьшее значение: $ 3(1 + (-1)) = 3 \cdot 0 = 0 $.
Наибольшее значение выражения достигается при наибольшем значении $ (1 + \sin(4x)) $. Это произойдет, когда $ \sin(4x) = 1 $.
Наибольшее значение: $ 3(1 + 1) = 3 \cdot 2 = 6 $.
Ответ: наибольшее значение 6, наименьшее значение 0.