Номер 737, страница 209 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

27. Формулы тригонометрических функций двойного и половинного углов. IV. Тригонометрия - номер 737, страница 209.

Условие.

737. На диаметре окружности, равном 4 см, отмечена точка M на расстоянии 1 см от ее центра O. Через точку M проведены две перпендикулярные хорды AC и BD, причем $\angle CMO = \alpha$ (рисунок 73). Найдите площадь четырехугольника ABCD.

Рисунок 73

Решение.

Решение 2 (rus).

По условию задачи, диаметр окружности равен 4 см, следовательно, ее радиус $R = 4 / 2 = 2$ см. Точка $M$ лежит на диаметре на расстоянии $OM = 1$ см от центра $O$. Через точку $M$ проведены две взаимно перпендикулярные хорды $AC$ и $BD$. Четырехугольник $ABCD$ является четырехугольником, диагонали которого ($AC$ и $BD$) перпендикулярны.

Площадь такого четырехугольника можно найти по формуле: $S_{ABCD} = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BD$.

Чтобы найти длины хорд $AC$ и $BD$, мы можем использовать формулу для длины хорды через радиус и расстояние от центра до хорды: $L = 2\sqrt{R^2 - d^2}$, где $d$ - расстояние от центра окружности до хорды.

Найдем расстояние от центра $O$ до хорды $AC$. Опустим перпендикуляр $OP$ из центра $O$ на хорду $AC$. Тогда $OP$ - это искомое расстояние. Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle OMP$ (прямой угол при вершине $P$). Гипотенуза $OM = 1$ см, а угол $\angle CMO = \alpha$ по условию. Тогда расстояние $OP$ равно: $d_{AC} = OP = OM \cdot \sin(\angle OMP) = OM \cdot \sin(\alpha) = 1 \cdot \sin(\alpha) = \sin(\alpha)$.

Теперь можем найти длину хорды $AC$: $AC = 2\sqrt{R^2 - d_{AC}^2} = 2\sqrt{2^2 - (\sin\alpha)^2} = 2\sqrt{4 - \sin^2\alpha}$.

Аналогично найдем расстояние от центра $O$ до хорды $BD$. Опустим перпендикуляр $OQ$ из центра $O$ на хорду $BD$. Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle OMQ$ (прямой угол при вершине $Q$). Так как хорды $AC$ и $BD$ перпендикулярны, то угол между прямой $OM$ и хордой $BD$ равен $\angle OMB = 90^\circ - \angle CMO = 90^\circ - \alpha$. Тогда расстояние $OQ$ равно: $d_{BD} = OQ = OM \cdot \sin(\angle OMQ) = OM \cdot \sin(90^\circ - \alpha) = 1 \cdot \cos(\alpha) = \cos(\alpha)$.

Теперь можем найти длину хорды $BD$: $BD = 2\sqrt{R^2 - d_{BD}^2} = 2\sqrt{2^2 - (\cos\alpha)^2} = 2\sqrt{4 - \cos^2\alpha}$.

Наконец, подставим найденные длины хорд в формулу для площади четырехугольника $ABCD$: $S_{ABCD} = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BD = \frac{1}{2} \cdot (2\sqrt{4 - \sin^2\alpha}) \cdot (2\sqrt{4 - \cos^2\alpha})$.

$S_{ABCD} = 2\sqrt{(4 - \sin^2\alpha)(4 - \cos^2\alpha)}$.

Раскроем скобки под корнем: $(4 - \sin^2\alpha)(4 - \cos^2\alpha) = 16 - 4\cos^2\alpha - 4\sin^2\alpha + \sin^2\alpha\cos^2\alpha =$ $= 16 - 4(\cos^2\alpha + \sin^2\alpha) + \sin^2\alpha\cos^2\alpha$.

Используя основное тригонометрическое тождество $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$, получаем: $16 - 4(1) + \sin^2\alpha\cos^2\alpha = 12 + \sin^2\alpha\cos^2\alpha$.

Таким образом, площадь четырехугольника равна: $S_{ABCD} = 2\sqrt{12 + \sin^2\alpha\cos^2\alpha}$.

Выражение можно также записать, используя формулу синуса двойного угла $\sin(2\alpha) = 2\sin\alpha\cos\alpha$, откуда $\sin\alpha\cos\alpha = \frac{1}{2}\sin(2\alpha)$. Тогда $\sin^2\alpha\cos^2\alpha = \frac{1}{4}\sin^2(2\alpha)$. $S_{ABCD} = 2\sqrt{12 + \frac{1}{4}\sin^2(2\alpha)}$.

Решение: Площадь четырехугольника $ABCD$, диагонали которого перпендикулярны, вычисляется по формуле $S = \frac{1}{2} d_1 d_2$, где $d_1 = AC$ и $d_2 = BD$. Длину хорды в окружности радиуса $R$ можно найти по формуле $L = 2\sqrt{R^2 - d^2}$, где $d$ — расстояние от центра окружности до хорды. Радиус окружности $R = 4/2 = 2$ см. Расстояние от центра $O$ до хорды $AC$ равно $d_{AC} = OM \cdot \sin\alpha = 1 \cdot \sin\alpha = \sin\alpha$. Расстояние от центра $O$ до хорды $BD$ равно $d_{BD} = OM \cdot \sin(90^\circ - \alpha) = \cos\alpha$.
Длина хорды $AC = 2\sqrt{2^2 - \sin^2\alpha} = 2\sqrt{4 - \sin^2\alpha}$.
Длина хорды $BD = 2\sqrt{2^2 - \cos^2\alpha} = 2\sqrt{4 - \cos^2\alpha}$.
Площадь $S_{ABCD} = \frac{1}{2} (2\sqrt{4 - \sin^2\alpha}) (2\sqrt{4 - \cos^2\alpha}) = 2\sqrt{(4 - \sin^2\alpha)(4 - \cos^2\alpha)} = 2\sqrt{16 - 4(\sin^2\alpha + \cos^2\alpha) + \sin^2\alpha\cos^2\alpha} = 2\sqrt{16 - 4 + \sin^2\alpha\cos^2\alpha} = 2\sqrt{12 + \sin^2\alpha\cos^2\alpha}$.
Ответ: $2\sqrt{12 + \sin^2\alpha\cos^2\alpha}$ см$^2$.