Номер 748, страница 213 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

28. Преобразование суммы и разности тригонометрических функций в произведение. IV. Тригонометрия - номер 748, страница 213.

Условие.

748. Упростите выражение:

a) $\frac{\sin 10\alpha - 2\sin 6\alpha \cos 6\alpha}{1 - 2\sin^2 6\alpha - \cos 10\alpha}$

б) $\frac{\cos 10\alpha + 2\cos^2 4\alpha - 1}{\sin 10\alpha + 2\cos 4\alpha \sin 4\alpha}$

в) $\frac{\sin 8\alpha + 2\sin 4\alpha}{2(\cos 2\alpha + \cos 6\alpha) \cdot \cos 2\alpha}$

г) $\frac{2 \cos 2\alpha + \cos 6\alpha + \cos 10\alpha}{\cos 6\alpha + \cos 2\alpha}$

Решение.

Решение 2 (rus).

а) Преобразуем числитель и знаменатель выражения, используя формулы двойного угла.
В числителе используем формулу синуса двойного угла $2\sin x \cos x = \sin 2x$:
$\sin 10\alpha - 2\sin 6\alpha \cos 6\alpha = \sin 10\alpha - \sin(2 \cdot 6\alpha) = \sin 10\alpha - \sin 12\alpha$.
В знаменателе используем формулу косинуса двойного угла $1 - 2\sin^2 x = \cos 2x$:
$1 - 2\sin^2 6\alpha - \cos 10\alpha = \cos(2 \cdot 6\alpha) - \cos 10\alpha = \cos 12\alpha - \cos 10\alpha$.
Теперь выражение имеет вид:
$\frac{\sin 10\alpha - \sin 12\alpha}{\cos 12\alpha - \cos 10\alpha}$
Применим формулы преобразования разности синусов и разности косинусов в произведение:
$\sin A - \sin B = 2\sin\frac{A-B}{2}\cos\frac{A+B}{2}$
$\cos A - \cos B = -2\sin\frac{A+B}{2}\sin\frac{A-B}{2}$
$\frac{2\sin\frac{10\alpha-12\alpha}{2}\cos\frac{10\alpha+12\alpha}{2}}{-2\sin\frac{12\alpha+10\alpha}{2}\sin\frac{12\alpha-10\alpha}{2}} = \frac{2\sin(-\alpha)\cos(11\alpha)}{-2\sin(11\alpha)\sin(\alpha)}$
Используя свойство нечетности синуса $\sin(-\alpha) = -\sin(\alpha)$, получаем:
$\frac{-2\sin(\alpha)\cos(11\alpha)}{-2\sin(11\alpha)\sin(\alpha)} = \frac{\cos(11\alpha)}{\sin(11\alpha)} = \cot(11\alpha)$.
Ответ: $\cot(11\alpha)$.

б) Преобразуем числитель и знаменатель выражения, используя формулы двойного угла.
В числителе используем формулу косинуса двойного угла $2\cos^2 x - 1 = \cos 2x$:
$\cos 10\alpha + 2\cos^2 4\alpha - 1 = \cos 10\alpha + \cos(2 \cdot 4\alpha) = \cos 10\alpha + \cos 8\alpha$.
В знаменателе используем формулу синуса двойного угла $2\sin x \cos x = \sin 2x$:
$\sin 10\alpha + 2\cos 4\alpha \sin 4\alpha = \sin 10\alpha + \sin(2 \cdot 4\alpha) = \sin 10\alpha + \sin 8\alpha$.
Выражение принимает вид:
$\frac{\cos 10\alpha + \cos 8\alpha}{\sin 10\alpha + \sin 8\alpha}$
Применим формулы преобразования суммы косинусов и суммы синусов в произведение:
$\cos A + \cos B = 2\cos\frac{A+B}{2}\cos\frac{A-B}{2}$
$\sin A + \sin B = 2\sin\frac{A+B}{2}\cos\frac{A-B}{2}$
$\frac{2\cos\frac{10\alpha+8\alpha}{2}\cos\frac{10\alpha-8\alpha}{2}}{2\sin\frac{10\alpha+8\alpha}{2}\cos\frac{10\alpha-8\alpha}{2}} = \frac{2\cos(9\alpha)\cos(\alpha)}{2\sin(9\alpha)\cos(\alpha)}$
После сокращения общих множителей $2\cos(\alpha)$ получаем:
$\frac{\cos(9\alpha)}{\sin(9\alpha)} = \cot(9\alpha)$.
Ответ: $\cot(9\alpha)$.

в) Преобразуем числитель, вынеся общий множитель и применив формулы.
$\sin 8\alpha + 2\sin 4\alpha = 2\sin 4\alpha \cos 4\alpha + 2\sin 4\alpha = 2\sin 4\alpha(1+\cos 4\alpha)$.
Используя формулу $1+\cos 2x = 2\cos^2 x$, заменим $1+\cos 4\alpha$ на $2\cos^2 2\alpha$.
Числитель равен: $2\sin 4\alpha \cdot 2\cos^2 2\alpha = 4\sin 4\alpha \cos^2 2\alpha$.
Преобразуем знаменатель, используя формулу суммы косинусов:
$\cos 2\alpha + \cos 6\alpha = 2\cos\frac{2\alpha+6\alpha}{2}\cos\frac{6\alpha-2\alpha}{2} = 2\cos 4\alpha \cos 2\alpha$.
Таким образом, весь знаменатель равен: $2 \cdot (2\cos 4\alpha \cos 2\alpha) \cdot \cos 2\alpha = 4\cos 4\alpha \cos^2 2\alpha$.
Разделим преобразованный числитель на знаменатель:
$\frac{4\sin 4\alpha \cos^2 2\alpha}{4\cos 4\alpha \cos^2 2\alpha} = \frac{\sin 4\alpha}{\cos 4\alpha} = \tan 4\alpha$.
Ответ: $\tan 4\alpha$.

г) Сгруппируем слагаемые в числителе и применим формулу суммы косинусов.
$2\cos 2\alpha + \cos 6\alpha + \cos 10\alpha = 2\cos 2\alpha + (\cos 10\alpha + \cos 6\alpha)$.
$\cos 10\alpha + \cos 6\alpha = 2\cos\frac{10\alpha+6\alpha}{2}\cos\frac{10\alpha-6\alpha}{2} = 2\cos 8\alpha \cos 2\alpha$.
Числитель становится: $2\cos 2\alpha + 2\cos 8\alpha \cos 2\alpha = 2\cos 2\alpha (1 + \cos 8\alpha)$.
Используя формулу $1 + \cos 2x = 2\cos^2 x$, получаем $1 + \cos 8\alpha = 2\cos^2 4\alpha$.
Таким образом, числитель равен: $2\cos 2\alpha \cdot 2\cos^2 4\alpha = 4\cos 2\alpha \cos^2 4\alpha$.
Преобразуем знаменатель по формуле суммы косинусов:
$\cos 6\alpha + \cos 2\alpha = 2\cos\frac{6\alpha+2\alpha}{2}\cos\frac{6\alpha-2\alpha}{2} = 2\cos 4\alpha \cos 2\alpha$.
Разделим числитель на знаменатель:
$\frac{4\cos 2\alpha \cos^2 4\alpha}{2\cos 4\alpha \cos 2\alpha}$.
Сокращая дробь на $2\cos 2\alpha \cos 4\alpha$, получаем:
$2\cos 4\alpha$.
Ответ: $2\cos 4\alpha$.