Номер 749, страница 213 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

28. Преобразование суммы и разности тригонометрических функций в произведение. IV. Тригонометрия - номер 749, страница 213.

Условие.

749. Найдите наибольшее и наименьшее значения выражения

$\frac{1-2\sin^2 2\alpha + \cos 8\alpha}{\sin^4 \alpha - \cos^4 \alpha}$

Решение.

Решение 2 (rus).

Для того чтобы найти наибольшее и наименьшее значения выражения, необходимо его упростить. Исходное выражение:

$$ \frac{1 - 2\sin^2(2\alpha) + \cos(8\alpha)}{\sin^4(\alpha) - \cos^4(\alpha)} $$

Сначала упростим числитель. Используя формулу косинуса двойного угла $ \cos(2x) = 1 - 2\sin^2(x) $ при $ x = 2\alpha $, получаем $ 1 - 2\sin^2(2\alpha) = \cos(4\alpha) $. Таким образом, числитель принимает вид $ \cos(4\alpha) + \cos(8\alpha) $.

Далее упростим знаменатель. Применим формулу разности квадратов $ a^2 - b^2 = (a-b)(a+b) $, а также основное тригонометрическое тождество и формулу косинуса двойного угла: $ \sin^4(\alpha) - \cos^4(\alpha) = (\sin^2\alpha - \cos^2\alpha)(\sin^2\alpha + \cos^2\alpha) = (-\cos(2\alpha))(1) = -\cos(2\alpha) $.

После подстановки упрощенных частей выражение принимает вид:

$$ \frac{\cos(4\alpha) + \cos(8\alpha)}{-\cos(2\alpha)} $$

Преобразуем сумму косинусов в числителе в произведение, используя формулу $ \cos A + \cos B = 2\cos\frac{A+B}{2}\cos\frac{A-B}{2} $:

$$ \cos(4\alpha) + \cos(8\alpha) = 2\cos\frac{4\alpha+8\alpha}{2}\cos\frac{8\alpha-4\alpha}{2} = 2\cos(6\alpha)\cos(2\alpha) $$

Подставим это в дробь:

$$ \frac{2\cos(6\alpha)\cos(2\alpha)}{-\cos(2\alpha)} $$

Область определения выражения задается условием, что знаменатель не равен нулю, то есть $ \cos(2\alpha) \neq 0 $. При этом условии можно сократить дробь на $ \cos(2\alpha) $. В результате получаем итоговое выражение:

$$ -2\cos(6\alpha) $$

Теперь найдем значения для этого выражения.

Наибольшее значение

Выражение $ -2\cos(6\alpha) $ достигает своего наибольшего значения, когда множитель $ \cos(6\alpha) $ принимает наименьшее возможное значение, равное -1. Таким образом, наибольшее значение всего выражения составляет $ -2 \cdot (-1) = 2 $.

Ответ: наибольшее значение равно 2.

Наименьшее значение

Выражение $ -2\cos(6\alpha) $ достигает своего наименьшего значения, когда множитель $ \cos(6\alpha) $ принимает наибольшее возможное значение, равное 1. Таким образом, наименьшее значение всего выражения составляет $ -2 \cdot 1 = -2 $.

Ответ: наименьшее значение равно -2.