Номер 756, страница 215 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

28. Преобразование суммы и разности тригонометрических функций в произведение. IV. Тригонометрия - номер 756, страница 215.

Условие.

756. Докажите тождество $\frac{\sin \alpha + \sin 3\alpha + \sin 5\alpha}{\cos \alpha + \cos 3\alpha + \cos 5\alpha} = \text{tg } 3\alpha$.

Решение.

Решение 2 (rus).

Для доказательства данного тождества преобразуем его левую часть. Первым шагом сгруппируем первое и третье слагаемые в числителе и знаменателе, чтобы применить формулы суммы тригонометрических функций.

$\frac{(\sin \alpha + \sin 5\alpha) + \sin 3\alpha}{(\cos \alpha + \cos 5\alpha) + \cos 3\alpha}$

Воспользуемся следующими формулами преобразования суммы в произведение:

Формула суммы синусов: $\sin x + \sin y = 2 \sin\frac{x+y}{2} \cos\frac{x-y}{2}$

Формула суммы косинусов: $\cos x + \cos y = 2 \cos\frac{x+y}{2} \cos\frac{x-y}{2}$

Применим эти формулы к выражениям в скобках.

Для числителя:

$\sin \alpha + \sin 5\alpha = 2 \sin\frac{\alpha+5\alpha}{2} \cos\frac{5\alpha-\alpha}{2} = 2 \sin 3\alpha \cos 2\alpha$

Для знаменателя:

$\cos \alpha + \cos 5\alpha = 2 \cos\frac{\alpha+5\alpha}{2} \cos\frac{5\alpha-\alpha}{2} = 2 \cos 3\alpha \cos 2\alpha$

Теперь подставим полученные выражения обратно в дробь:

$\frac{2 \sin 3\alpha \cos 2\alpha + \sin 3\alpha}{2 \cos 3\alpha \cos 2\alpha + \cos 3\alpha}$

Вынесем общие множители за скобки. В числителе это $\sin 3\alpha$, а в знаменателе — $\cos 3\alpha$.

$\frac{\sin 3\alpha (2 \cos 2\alpha + 1)}{\cos 3\alpha (2 \cos 2\alpha + 1)}$

Сократим дробь на общий множитель $(2 \cos 2\alpha + 1)$, при условии, что он не равен нулю (это условие входит в область допустимых значений исходного выражения).

$\frac{\sin 3\alpha}{\cos 3\alpha}$

По определению тангенса, $\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}$. Следовательно, полученное выражение равно $\tan 3\alpha$.

$\frac{\sin 3\alpha}{\cos 3\alpha} = \tan 3\alpha$

Таким образом, левая часть тождества была преобразована в правую, что и доказывает его верность.

Ответ: Тождество доказано.