Номер 759, страница 215 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

28. Преобразование суммы и разности тригонометрических функций в произведение. IV. Тригонометрия - номер 759, страница 215.

Условие.

759. Докажите тождество:

а) $\sin \alpha + \sin 2\alpha + \sin 3\alpha = 4\sin \frac{3\alpha}{2} \cdot \cos \alpha \cdot \cos \frac{\alpha}{2};$

б) $1 + \sin \alpha + \cos \alpha = 2\sqrt{2} \cos \frac{\alpha}{2} \cdot \cos \left(\frac{\pi}{4} - \frac{\alpha}{2}\right).$

Решение.

Решение 2 (rus).

a) Для доказательства тождества преобразуем его левую часть. Сгруппируем первое и третье слагаемые и применим к ним формулу суммы синусов $\sin x + \sin y = 2\sin\frac{x+y}{2}\cos\frac{x-y}{2}$:
$\sin \alpha + \sin 2\alpha + \sin 3\alpha = (\sin 3\alpha + \sin \alpha) + \sin 2\alpha = 2\sin\frac{3\alpha+\alpha}{2}\cos\frac{3\alpha-\alpha}{2} + \sin 2\alpha = 2\sin 2\alpha \cos \alpha + \sin 2\alpha$.
Теперь вынесем общий множитель $\sin 2\alpha$ за скобки:
$\sin 2\alpha (2\cos \alpha + 1)$.
Применим к выражению формулу синуса двойного угла $\sin 2\alpha = 2\sin\alpha\cos\alpha$, а затем еще одну формулу двойного угла $\sin\alpha = 2\sin\frac{\alpha}{2}\cos\frac{\alpha}{2}$:
$\sin 2\alpha = 2(2\sin\frac{\alpha}{2}\cos\frac{\alpha}{2})\cos\alpha = 4\sin\frac{\alpha}{2}\cos\frac{\alpha}{2}\cos\alpha$.
Преобразуем множитель $(2\cos\alpha + 1)$, используя формулу косинуса двойного угла $\cos\alpha=1-2\sin^2\frac{\alpha}{2}$:
$2\cos\alpha+1 = 2(1-2\sin^2\frac{\alpha}{2})+1 = 3-4\sin^2\frac{\alpha}{2}$.
Из формулы синуса тройного угла $\sin(3x) = 3\sin x - 4\sin^3 x$ следует, что $\sin\frac{3\alpha}{2} = \sin\frac{\alpha}{2}(3-4\sin^2\frac{\alpha}{2})$.
Таким образом, мы можем выразить $2\cos\alpha+1$ как $\frac{\sin(3\alpha/2)}{\sin(\alpha/2)}$.
Подставим полученные преобразования в выражение $\sin 2\alpha (2\cos \alpha + 1)$:
$(4\sin\frac{\alpha}{2}\cos\frac{\alpha}{2}\cos\alpha) \cdot \frac{\sin(3\alpha/2)}{\sin(\alpha/2)} = 4\cos\frac{\alpha}{2}\cos\alpha\sin\frac{3\alpha}{2}$.
После перестановки множителей получаем выражение, идентичное правой части исходного тождества:
$4\sin\frac{3\alpha}{2}\cos\alpha\cos\frac{\alpha}{2}$.
Левая часть равна правой, тождество доказано.
Ответ: Тождество $\sin \alpha + \sin 2\alpha + \sin 3\alpha = 4\sin\frac{3\alpha}{2} \cdot \cos \alpha \cdot \cos\frac{\alpha}{2}$ доказано.

б) Для доказательства тождества преобразуем его левую часть. Сгруппируем $1$ и $\cos \alpha$ и применим формулу косинуса двойного угла в виде $1+\cos\alpha=2\cos^2\frac{\alpha}{2}$, а для $\sin\alpha$ применим формулу синуса двойного угла $\sin\alpha=2\sin\frac{\alpha}{2}\cos\frac{\alpha}{2}$:
$1 + \sin \alpha + \cos \alpha = (1+\cos\alpha) + \sin\alpha = 2\cos^2\frac{\alpha}{2} + 2\sin\frac{\alpha}{2}\cos\frac{\alpha}{2}$.
Вынесем общий множитель $2\cos\frac{\alpha}{2}$ за скобки:
$2\cos\frac{\alpha}{2}(\cos\frac{\alpha}{2} + \sin\frac{\alpha}{2})$.
Теперь преобразуем выражение в скобках $(\cos\frac{\alpha}{2} + \sin\frac{\alpha}{2})$ с помощью метода вспомогательного угла. Для этого вынесем за скобки множитель $\sqrt{1^2+1^2} = \sqrt{2}$:
$\cos\frac{\alpha}{2} + \sin\frac{\alpha}{2} = \sqrt{2}(\frac{1}{\sqrt{2}}\cos\frac{\alpha}{2} + \frac{1}{\sqrt{2}}\sin\frac{\alpha}{2})$.
Поскольку $\cos\frac{\pi}{4} = \frac{1}{\sqrt{2}}$ и $\sin\frac{\pi}{4} = \frac{1}{\sqrt{2}}$, выражение в скобках можно представить в виде:
$\sqrt{2}(\cos\frac{\pi}{4}\cos\frac{\alpha}{2} + \sin\frac{\pi}{4}\sin\frac{\alpha}{2})$.
Используя формулу косинуса разности $\cos(x-y)=\cos x \cos y + \sin x \sin y$, получаем:
$\sqrt{2}\cos(\frac{\pi}{4} - \frac{\alpha}{2})$.
Подставим результат обратно в преобразованное выражение для левой части:
$2\cos\frac{\alpha}{2} \cdot \sqrt{2}\cos(\frac{\pi}{4} - \frac{\alpha}{2}) = 2\sqrt{2}\cos\frac{\alpha}{2}\cos(\frac{\pi}{4} - \frac{\alpha}{2})$.
Полученное выражение совпадает с правой частью исходного тождества. Тождество доказано.
Ответ: Тождество $1 + \sin \alpha + \cos \alpha = 2\sqrt{2} \cos\frac{\alpha}{2} \cdot \cos(\frac{\pi}{4} - \frac{\alpha}{2})$ доказано.