Вопросы, страница 217 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

29. Преобразование произведения тригонометрических функций в сумму и разность. IV. Тригонометрия - страница 217.

Условие.

По каким формулам можно преобразовать произведение тригонометрических функций в сумму или разность?

Решение.

Решение 2 (rus).

Преобразование произведения тригонометрических функций в сумму или разность осуществляется по специальным формулам, которые называются формулами преобразования произведения в сумму. Эти формулы выводятся из формул сложения и вычитания углов для синуса и косинуса.

Для вывода этих формул нам понадобятся следующие тригонометрические тождества:

$\sin(\alpha + \beta) = \sin\alpha \cos\beta + \cos\alpha \sin\beta$

$\sin(\alpha - \beta) = \sin\alpha \cos\beta - \cos\alpha \sin\beta$

$\cos(\alpha + \beta) = \cos\alpha \cos\beta - \sin\alpha \sin\beta$

$\cos(\alpha - \beta) = \cos\alpha \cos\beta + \sin\alpha \sin\beta$

Рассмотрим каждую формулу преобразования произведения в сумму отдельно.

1. Произведение синуса на косинус

Чтобы получить формулу для произведения $\sin\alpha \cos\beta$, сложим почленно формулы синуса суммы и синуса разности:

$\sin(\alpha + \beta) + \sin(\alpha - \beta) = (\sin\alpha \cos\beta + \cos\alpha \sin\beta) + (\sin\alpha \cos\beta - \cos\alpha \sin\beta)$

Приведя подобные слагаемые в правой части, получим:

$\sin(\alpha + \beta) + \sin(\alpha - \beta) = 2\sin\alpha \cos\beta$

Отсюда, разделив обе части на 2, выражаем искомое произведение:

Ответ: $\sin\alpha \cos\beta = \frac{1}{2}(\sin(\alpha + \beta) + \sin(\alpha - \beta))$

2. Произведение двух косинусов

Для вывода формулы произведения $\cos\alpha \cos\beta$ сложим почленно формулы косинуса суммы и косинуса разности:

$\cos(\alpha + \beta) + \cos(\alpha - \beta) = (\cos\alpha \cos\beta - \sin\alpha \sin\beta) + (\cos\alpha \cos\beta + \sin\alpha \sin\beta)$

После упрощения правой части равенства имеем:

$\cos(\alpha + \beta) + \cos(\alpha - \beta) = 2\cos\alpha \cos\beta$

Разделим обе части на 2 и получим формулу для произведения косинусов:

Ответ: $\cos\alpha \cos\beta = \frac{1}{2}(\cos(\alpha + \beta) + \cos(\alpha - \beta))$

3. Произведение двух синусов

Чтобы получить формулу для произведения $\sin\alpha \sin\beta$, вычтем из формулы косинуса разности формулу косинуса суммы:

$\cos(\alpha - \beta) - \cos(\alpha + \beta) = (\cos\alpha \cos\beta + \sin\alpha \sin\beta) - (\cos\alpha \cos\beta - \sin\alpha \sin\beta)$

Упрощаем правую часть:

$\cos(\alpha - \beta) - \cos(\alpha + \beta) = 2\sin\alpha \sin\beta$

Выразим отсюда произведение синусов, разделив обе части на 2:

Ответ: $\sin\alpha \sin\beta = \frac{1}{2}(\cos(\alpha - \beta) - \cos(\alpha + \beta))$

Эти три формулы позволяют преобразовать любое произведение синусов и косинусов в их сумму или разность, что часто используется для упрощения выражений, решения уравнений и вычисления интегралов.