Вопросы, страница 198 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

26. Формулы косинуса, синуса, тангенса и котангенса суммы и разности двух углов. IV. Тригонометрия - страница 198.

Условие.

Запишите формулы тригонометрических функций суммы и разности двух углов.

Синус суммы и разности углов:

$\sin(a+b) = \sin a \cos b + \cos a \sin b$

$\sin(a-b) = \sin a \cos b - \cos a \sin b$

Косинус суммы и разности углов:

$\cos(a+b) = \cos a \cos b - \sin a \sin b$

$\cos(a-b) = \cos a \cos b + \sin a \sin b$

Тангенс суммы и разности углов:

$\tan(a+b) = \frac{\tan a + \tan b}{1 - \tan a \tan b}$

$\tan(a-b) = \frac{\tan a - \tan b}{1 + \tan a \tan b}$

Котангенс суммы и разности углов:

$\cot(a+b) = \frac{\cot a \cot b - 1}{\cot a + \cot b}$

$\cot(a-b) = \frac{\cot a \cot b + 1}{\cot b - \cot a}$

Решение.

Решение 2 (rus).

Синус суммы и разности

Формула для синуса суммы двух углов $\alpha$ и $\beta$:

$\sin(\alpha + \beta) = \sin\alpha \cos\beta + \cos\alpha \sin\beta$

Формула для синуса разности двух углов $\alpha$ и $\beta$:

$\sin(\alpha - \beta) = \sin\alpha \cos\beta - \cos\alpha \sin\beta$

Ответ: Эти две формулы можно записать в компактном виде: $\sin(\alpha \pm \beta) = \sin\alpha \cos\beta \pm \cos\alpha \sin\beta$.

Косинус суммы и разности

Формула для косинуса суммы двух углов $\alpha$ и $\beta$:

$\cos(\alpha + \beta) = \cos\alpha \cos\beta - \sin\alpha \sin\beta$

Формула для косинуса разности двух углов $\alpha$ и $\beta$:

$\cos(\alpha - \beta) = \cos\alpha \cos\beta + \sin\alpha \sin\beta$

Ответ: Эти две формулы можно записать в компактном виде (обратите внимание, что знак в правой части меняется на противоположный): $\cos(\alpha \pm \beta) = \cos\alpha \cos\beta \mp \sin\alpha \sin\beta$.

Тангенс суммы и разности

Формула для тангенса суммы двух углов $\alpha$ и $\beta$:

$\tan(\alpha + \beta) = \frac{\tan\alpha + \tan\beta}{1 - \tan\alpha \tan\beta}$

Формула для тангенса разности двух углов $\alpha$ и $\beta$:

$\tan(\alpha - \beta) = \frac{\tan\alpha - \tan\beta}{1 + \tan\alpha \tan\beta}$

Эти формулы справедливы при условии, что углы $\alpha, \beta$ и их сумма/разность $\alpha \pm \beta$ не равны $\frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n$ — любое целое число.

Ответ: Компактная запись для тангенса суммы и разности: $\tan(\alpha \pm \beta) = \frac{\tan\alpha \pm \tan\beta}{1 \mp \tan\alpha \tan\beta}$.

Котангенс суммы и разности

Формула для котангенса суммы двух углов $\alpha$ и $\beta$:

$\cot(\alpha + \beta) = \frac{\cot\alpha \cot\beta - 1}{\cot\beta + \cot\alpha}$

Формула для котангенса разности двух углов $\alpha$ и $\beta$:

$\cot(\alpha - \beta) = \frac{\cot\alpha \cot\beta + 1}{\cot\beta - \cot\alpha}$

Эти формулы справедливы при условии, что углы $\alpha, \beta$ и их сумма/разность $\alpha \pm \beta$ не равны $\pi n$, где $n$ — любое целое число.

Ответ: Компактная запись для котангенса суммы и разности: $\cot(\alpha \pm \beta) = \frac{\cot\alpha \cot\beta \mp 1}{\cot\beta \pm \cot\alpha}$.