Номер 678, страница 195 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

25. Формулы приведения. IV. Тригонометрия - номер 678, страница 195.

Условие.

678. Найдите значение выражения:

a) $ \frac{\sqrt{\sin^2 23^\circ - \cos^2 67^\circ \cdot \cos^2 200^\circ}}{\cos 113^\circ \cdot \sin 340^\circ} $;

б) $ \frac{\sin 100^\circ \cdot \sqrt{\sin^2 69^\circ + \cos^2 21^\circ \cdot \text{tg}^2 170^\circ}}{\cos 201^\circ} $.

Решение.

Решение 2 (rus).

a) Для нахождения значения выражения $ \frac{\sqrt{\sin^2 23^\circ - \cos^2 67^\circ \cdot \cos^2 200^\circ}}{\cos 113^\circ \cdot \sin 340^\circ} $ воспользуемся формулами приведения и основными тригонометрическими тождествами.
Упростим тригонометрические функции, приводя их к острым углам:
$ \cos 67^\circ = \cos(90^\circ - 23^\circ) = \sin 23^\circ $
$ \cos 200^\circ = \cos(180^\circ + 20^\circ) = -\cos 20^\circ $
$ \cos 113^\circ = \cos(90^\circ + 23^\circ) = -\sin 23^\circ $
$ \sin 340^\circ = \sin(360^\circ - 20^\circ) = -\sin 20^\circ $
Подставим эти значения в исходное выражение.
Сначала преобразуем числитель:
$ \sqrt{\sin^2 23^\circ - \cos^2 67^\circ \cdot \cos^2 200^\circ} = \sqrt{\sin^2 23^\circ - (\sin 23^\circ)^2 \cdot (-\cos 20^\circ)^2} = \sqrt{\sin^2 23^\circ - \sin^2 23^\circ \cdot \cos^2 20^\circ} $
Вынесем общий множитель $ \sin^2 23^\circ $ за скобки под корнем:
$ \sqrt{\sin^2 23^\circ (1 - \cos^2 20^\circ)} $
Используя основное тригонометрическое тождество $ \sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1 $, заменим $ 1 - \cos^2 20^\circ $ на $ \sin^2 20^\circ $:
$ \sqrt{\sin^2 23^\circ \cdot \sin^2 20^\circ} = |\sin 23^\circ \cdot \sin 20^\circ| $
Так как углы $23^\circ$ и $20^\circ$ находятся в первой четверти, их синусы положительны, поэтому модуль можно опустить:
$ \sin 23^\circ \cdot \sin 20^\circ $
Теперь преобразуем знаменатель:
$ \cos 113^\circ \cdot \sin 340^\circ = (-\sin 23^\circ) \cdot (-\sin 20^\circ) = \sin 23^\circ \cdot \sin 20^\circ $
Найдем значение всего выражения, разделив преобразованный числитель на преобразованный знаменатель:
$ \frac{\sin 23^\circ \cdot \sin 20^\circ}{\sin 23^\circ \cdot \sin 20^\circ} = 1 $
Ответ: 1

б) Для нахождения значения выражения $ \frac{\sin 100^\circ \cdot \sqrt{\sin^2 69^\circ + \cos^2 21^\circ \cdot \tg^2 170^\circ}}{\cos 201^\circ} $ также используем формулы приведения и тригонометрические тождества.
Упростим тригонометрические функции:
$ \sin 100^\circ = \sin(90^\circ + 10^\circ) = \cos 10^\circ $
$ \cos 21^\circ = \cos(90^\circ - 69^\circ) = \sin 69^\circ $
$ \tg 170^\circ = \tg(180^\circ - 10^\circ) = -\tg 10^\circ $
$ \cos 201^\circ = \cos(180^\circ + 21^\circ) = -\cos 21^\circ $
Подставим эти значения в исходное выражение. Сначала преобразуем выражение под корнем:
$ \sqrt{\sin^2 69^\circ + \cos^2 21^\circ \cdot \tg^2 170^\circ} = \sqrt{\sin^2 69^\circ + (\sin 69^\circ)^2 \cdot (-\tg 10^\circ)^2} = \sqrt{\sin^2 69^\circ + \sin^2 69^\circ \cdot \tg^2 10^\circ} $
Вынесем $ \sin^2 69^\circ $ за скобки:
$ \sqrt{\sin^2 69^\circ (1 + \tg^2 10^\circ)} $
Используя тождество $ 1 + \tg^2\alpha = \frac{1}{\cos^2\alpha} $:
$ \sqrt{\sin^2 69^\circ \cdot \frac{1}{\cos^2 10^\circ}} = \sqrt{\frac{\sin^2 69^\circ}{\cos^2 10^\circ}} = \frac{|\sin 69^\circ|}{|\cos 10^\circ|} $
Так как углы $69^\circ$ и $10^\circ$ находятся в первой четверти, их синус и косинус положительны:
$ \frac{\sin 69^\circ}{\cos 10^\circ} $
Теперь подставим все упрощенные части в исходное выражение:
$ \frac{\sin 100^\circ \cdot \left(\frac{\sin 69^\circ}{\cos 10^\circ}\right)}{\cos 201^\circ} = \frac{\cos 10^\circ \cdot \frac{\sin 69^\circ}{\cos 10^\circ}}{-\cos 21^\circ} $
Сократим $ \cos 10^\circ $ в числителе:
$ \frac{\sin 69^\circ}{-\cos 21^\circ} $
Используем еще раз формулу приведения: $ \sin 69^\circ = \sin(90^\circ - 21^\circ) = \cos 21^\circ $.
$ \frac{\cos 21^\circ}{-\cos 21^\circ} = -1 $
Ответ: -1