Номер 673, страница 194 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

Авторы: Солтан Г. Н., Солтан А. Е., Жумадилова А. Ж.
Тип: Учебник
Издательство: Кокшетау
Год издания: 2019 - 2025
Цвет обложки:
ISBN: 978-601-317-424-2
Рекомендовано Министерством образования и науки Республики Казахстан
Популярные ГДЗ в 9 классе
25. Формулы приведения. IV. Тригонометрия - номер 673, страница 194.
№673 (с. 194)
Условие. №673 (с. 194)
скриншот условия

673. Вычислите: $\text{ctg } 570^\circ \cdot \text{ctg } 760^\circ \cdot \text{ctg } 945^\circ \cdot \text{ctg } 1130^\circ \cdot \text{ctg } 1320^\circ$.
Решение. №673 (с. 194)

Решение 2 (rus). №673 (с. 194)
Для вычисления значения данного выражения воспользуемся свойством периодичности функции котангенс и формулами приведения. Период функции $y = \text{ctg}(x)$ равен $180^{\circ}$ (или $\pi$ радиан), что означает $\text{ctg}(\alpha + 180^{\circ} \cdot k) = \text{ctg}(\alpha)$ для любого целого числа $k$.
Упростим каждый из множителей в выражении по отдельности, приводя угол к значению в диапазоне от $0^{\circ}$ до $90^{\circ}$:
$\text{ctg}(570^{\circ}) = \text{ctg}(3 \cdot 180^{\circ} + 30^{\circ}) = \text{ctg}(30^{\circ}) = \sqrt{3}$.
$\text{ctg}(760^{\circ}) = \text{ctg}(2 \cdot 360^{\circ} + 40^{\circ}) = \text{ctg}(40^{\circ})$.
$\text{ctg}(945^{\circ}) = \text{ctg}(5 \cdot 180^{\circ} + 45^{\circ}) = \text{ctg}(45^{\circ}) = 1$.
$\text{ctg}(1130^{\circ}) = \text{ctg}(3 \cdot 360^{\circ} + 50^{\circ}) = \text{ctg}(50^{\circ})$.
$\text{ctg}(1320^{\circ}) = \text{ctg}(7 \cdot 180^{\circ} + 60^{\circ}) = \text{ctg}(60^{\circ}) = \frac{1}{\sqrt{3}}$.
Теперь подставим упрощенные значения обратно в исходное произведение:
$\text{ctg}(570^{\circ}) \cdot \text{ctg}(760^{\circ}) \cdot \text{ctg}(945^{\circ}) \cdot \text{ctg}(1130^{\circ}) \cdot \text{ctg}(1320^{\circ}) = \sqrt{3} \cdot \text{ctg}(40^{\circ}) \cdot 1 \cdot \text{ctg}(50^{\circ}) \cdot \frac{1}{\sqrt{3}}$
Сгруппируем множители для удобства вычислений:
$(\sqrt{3} \cdot \frac{1}{\sqrt{3}}) \cdot (\text{ctg}(40^{\circ}) \cdot \text{ctg}(50^{\circ})) \cdot 1 = 1 \cdot (\text{ctg}(40^{\circ}) \cdot \text{ctg}(50^{\circ})) = \text{ctg}(40^{\circ}) \cdot \text{ctg}(50^{\circ})$
Воспользуемся формулой приведения $\text{ctg}(\alpha) = \text{tg}(90^{\circ} - \alpha)$. Применим ее к $\text{ctg}(50^{\circ})$:
$\text{ctg}(50^{\circ}) = \text{tg}(90^{\circ} - 50^{\circ}) = \text{tg}(40^{\circ})$
Подставим это обратно в наше выражение:
$\text{ctg}(40^{\circ}) \cdot \text{tg}(40^{\circ})$
Используя основное тригонометрическое тождество $\text{ctg}(\alpha) \cdot \text{tg}(\alpha) = 1$, получаем, что итоговое значение произведения равно 1.
Ответ: 1
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 9 класс, для упражнения номер 673 расположенного на странице 194 к учебнику 2019 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №673 (с. 194), авторов: Солтан (Генадий Николаевич), Солтан (Алла Евгеньевна), Жумадилова (Аманбала Жумадиловна), учебного пособия издательства Кокшетау.