Номер 673, страница 194 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

25. Формулы приведения. IV. Тригонометрия - номер 673, страница 194.

Условие.

673. Вычислите: $\text{ctg } 570^\circ \cdot \text{ctg } 760^\circ \cdot \text{ctg } 945^\circ \cdot \text{ctg } 1130^\circ \cdot \text{ctg } 1320^\circ$.

Решение.

Решение 2 (rus).

Для вычисления значения данного выражения воспользуемся свойством периодичности функции котангенс и формулами приведения. Период функции $y = \text{ctg}(x)$ равен $180^{\circ}$ (или $\pi$ радиан), что означает $\text{ctg}(\alpha + 180^{\circ} \cdot k) = \text{ctg}(\alpha)$ для любого целого числа $k$.

Упростим каждый из множителей в выражении по отдельности, приводя угол к значению в диапазоне от $0^{\circ}$ до $90^{\circ}$:

$\text{ctg}(570^{\circ}) = \text{ctg}(3 \cdot 180^{\circ} + 30^{\circ}) = \text{ctg}(30^{\circ}) = \sqrt{3}$.

$\text{ctg}(760^{\circ}) = \text{ctg}(2 \cdot 360^{\circ} + 40^{\circ}) = \text{ctg}(40^{\circ})$.

$\text{ctg}(945^{\circ}) = \text{ctg}(5 \cdot 180^{\circ} + 45^{\circ}) = \text{ctg}(45^{\circ}) = 1$.

$\text{ctg}(1130^{\circ}) = \text{ctg}(3 \cdot 360^{\circ} + 50^{\circ}) = \text{ctg}(50^{\circ})$.

$\text{ctg}(1320^{\circ}) = \text{ctg}(7 \cdot 180^{\circ} + 60^{\circ}) = \text{ctg}(60^{\circ}) = \frac{1}{\sqrt{3}}$.

Теперь подставим упрощенные значения обратно в исходное произведение:

$\text{ctg}(570^{\circ}) \cdot \text{ctg}(760^{\circ}) \cdot \text{ctg}(945^{\circ}) \cdot \text{ctg}(1130^{\circ}) \cdot \text{ctg}(1320^{\circ}) = \sqrt{3} \cdot \text{ctg}(40^{\circ}) \cdot 1 \cdot \text{ctg}(50^{\circ}) \cdot \frac{1}{\sqrt{3}}$

Сгруппируем множители для удобства вычислений:

$(\sqrt{3} \cdot \frac{1}{\sqrt{3}}) \cdot (\text{ctg}(40^{\circ}) \cdot \text{ctg}(50^{\circ})) \cdot 1 = 1 \cdot (\text{ctg}(40^{\circ}) \cdot \text{ctg}(50^{\circ})) = \text{ctg}(40^{\circ}) \cdot \text{ctg}(50^{\circ})$

Воспользуемся формулой приведения $\text{ctg}(\alpha) = \text{tg}(90^{\circ} - \alpha)$. Применим ее к $\text{ctg}(50^{\circ})$:

$\text{ctg}(50^{\circ}) = \text{tg}(90^{\circ} - 50^{\circ}) = \text{tg}(40^{\circ})$

Подставим это обратно в наше выражение:

$\text{ctg}(40^{\circ}) \cdot \text{tg}(40^{\circ})$

Используя основное тригонометрическое тождество $\text{ctg}(\alpha) \cdot \text{tg}(\alpha) = 1$, получаем, что итоговое значение произведения равно 1.

Ответ: 1