Номер 670, страница 193 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

25. Формулы приведения. IV. Тригонометрия - номер 670, страница 193.

Условие.

670. Докажите тождество:

а) $\frac{\cos^2(2\pi - \alpha) - \sin^2(\pi + \alpha)}{\sin\left(\frac{\pi}{2} + \alpha\right) + \cos\left(\frac{3\pi}{2} - \alpha\right)} = \cos\left(\frac{3\pi}{2} + \alpha\right) + \sin\left(\frac{\pi}{2} + \alpha\right);$

б) $\frac{\sin^2(\pi - \alpha) - \cos^2(2\pi + \alpha)}{\sin\left(\frac{3\pi}{2} + \alpha\right) + \cos\left(\frac{\pi}{2} + \alpha\right)} = \cos\left(\frac{3\pi}{2} - \alpha\right) + \sin\left(\frac{\pi}{2} + \alpha\right);$

в) $\frac{\sin(2\pi - \alpha) \cdot \text{tg}\left(\frac{\pi}{2} + \alpha\right) \cdot \text{ctg}\left(\frac{3\pi}{2} - \alpha\right)}{\cos(2\pi + \alpha) \cdot \text{tg}(\pi + \alpha)} = 1;$

г) $\frac{\text{ctg}\left(\alpha - \frac{\pi}{2}\right) \cdot \sin\left(\alpha - \frac{3\pi}{2}\right) - \text{tg}\left(\frac{3\pi}{2} + \alpha\right) \cdot \sin(\pi + \alpha)}{\text{tg}(\pi + \alpha) \cdot \cos(\alpha - 2\pi) + \text{tg}\left(\frac{3\pi}{2} - \alpha\right) \cdot \sin(\alpha - 2\pi)} = -1.$

Решение.

Решение 2 (rus).

а) Для доказательства тождества преобразуем левую и правую части, используя формулы приведения.
Преобразуем левую часть (ЛЧ):
Числитель: $ \cos^2(2\pi - \alpha) - \sin^2(\pi + \alpha) = (\cos \alpha)^2 - (-\sin \alpha)^2 = \cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha $.
Знаменатель: $ \sin(\frac{\pi}{2} + \alpha) + \cos(\frac{3\pi}{2} - \alpha) = \cos \alpha + (-\sin \alpha) = \cos \alpha - \sin \alpha $.
Тогда левая часть равна: $ \frac{\cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha}{\cos \alpha - \sin \alpha} = \frac{(\cos \alpha - \sin \alpha)(\cos \alpha + \sin \alpha)}{\cos \alpha - \sin \alpha} = \cos \alpha + \sin \alpha $.
Преобразуем правую часть (ПЧ):
$ \cos(\frac{3\pi}{2} + \alpha) + \sin(\frac{\pi}{2} + \alpha) = \sin \alpha + \cos \alpha $.
Так как ЛЧ = ПЧ, тождество доказано.
Ответ: Тождество доказано.

б) Преобразуем левую и правую части тождества.
Левая часть (ЛЧ):
Числитель: $ \sin^2(\pi - \alpha) - \cos^2(2\pi + \alpha) = (\sin \alpha)^2 - (\cos \alpha)^2 = \sin^2 \alpha - \cos^2 \alpha $.
Знаменатель: $ \sin(\frac{3\pi}{2} + \alpha) + \cos(\frac{\pi}{2} + \alpha) = (-\cos \alpha) + (-\sin \alpha) = -(\cos \alpha + \sin \alpha) $.
ЛЧ = $ \frac{\sin^2 \alpha - \cos^2 \alpha}{-(\cos \alpha + \sin \alpha)} = \frac{-(\cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha)}{-(\cos \alpha + \sin \alpha)} = \frac{(\cos \alpha - \sin \alpha)(\cos \alpha + \sin \alpha)}{\cos \alpha + \sin \alpha} = \cos \alpha - \sin \alpha $.
Правая часть (ПЧ):
$ \cos(\frac{3\pi}{2} - \alpha) + \sin(\frac{\pi}{2} + \alpha) = -\sin \alpha + \cos \alpha = \cos \alpha - \sin \alpha $.
Так как ЛЧ = ПЧ, тождество доказано.
Ответ: Тождество доказано.

в) Преобразуем левую часть тождества, используя формулы приведения.
$ \sin(2\pi - \alpha) = -\sin \alpha $
$ \tg(\frac{\pi}{2} + \alpha) = -\ctg \alpha $
$ \ctg(\frac{3\pi}{2} - \alpha) = \tg \alpha $
$ \cos(2\pi + \alpha) = \cos \alpha $
$ \tg(\pi + \alpha) = \tg \alpha $
Подставим преобразованные выражения в левую часть:
$ \frac{(-\sin \alpha) \cdot (-\ctg \alpha) \cdot \tg \alpha}{\cos \alpha \cdot \tg \alpha} = \frac{\sin \alpha \cdot \ctg \alpha \cdot \tg \alpha}{\cos \alpha \cdot \tg \alpha} $.
Сокращая на $ \tg \alpha $ (при условии, что $ \tg \alpha \neq 0 $), получаем:
$ \frac{\sin \alpha \cdot \ctg \alpha}{\cos \alpha} = \frac{\sin \alpha \cdot \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha}}{\cos \alpha} = \frac{\cos \alpha}{\cos \alpha} = 1 $.
Левая часть равна 1, что соответствует правой части. Тождество доказано.
Ответ: Тождество доказано.

г) Преобразуем левую часть тождества. Сначала упростим каждый множитель.
$ \ctg(\alpha - \frac{\pi}{2}) = \ctg(-(\frac{\pi}{2} - \alpha)) = -\ctg(\frac{\pi}{2} - \alpha) = -\tg \alpha $
$ \sin(\alpha - \frac{3\pi}{2}) = \sin(\alpha - \frac{3\pi}{2} + 2\pi) = \sin(\alpha + \frac{\pi}{2}) = \cos \alpha $
$ \tg(\frac{3\pi}{2} + \alpha) = -\ctg \alpha $
$ \sin(\pi + \alpha) = -\sin \alpha $
$ \tg(\pi + \alpha) = \tg \alpha $
$ \cos(\alpha - 2\pi) = \cos \alpha $
$ \tg(\frac{3\pi}{2} - \alpha) = \ctg \alpha $
$ \sin(\alpha - 2\pi) = \sin \alpha $
Подставим эти выражения в исходное.
Числитель: $ (-\tg \alpha) \cdot \cos \alpha - (-\ctg \alpha) \cdot (-\sin \alpha) = -\frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} \cdot \cos \alpha - \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} \cdot \sin \alpha = -\sin \alpha - \cos \alpha $.
Знаменатель: $ \tg \alpha \cdot \cos \alpha + \ctg \alpha \cdot \sin \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} \cdot \cos \alpha + \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} \cdot \sin \alpha = \sin \alpha + \cos \alpha $.
Вся дробь: $ \frac{-\sin \alpha - \cos \alpha}{\sin \alpha + \cos \alpha} = \frac{-(\sin \alpha + \cos \alpha)}{\sin \alpha + \cos \alpha} = -1 $.
Левая часть равна -1, что соответствует правой части. Тождество доказано.
Ответ: Тождество доказано.