Номер 671, страница 194 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

25. Формулы приведения. IV. Тригонометрия - номер 671, страница 194.

Условие.

671. Докажите, что для углов $\alpha, \beta, \gamma$ треугольника верны соотношения:

а) $\sin \left(\frac{\alpha+\beta}{2}\right)=\cos \frac{\gamma}{2}$

б) $\tan \left(\frac{\alpha+\beta}{2}\right)=\cot \frac{\gamma}{2}$.

Решение.

Решение 2 (rus).

Поскольку $\alpha$, $\beta$ и $\gamma$ являются углами одного треугольника, их сумма равна $180^\circ$ (или $\pi$ радиан).

$\alpha + \beta + \gamma = 180^\circ$

Из этого соотношения мы можем выразить сумму углов $\alpha + \beta$:

$\alpha + \beta = 180^\circ - \gamma$

Это соотношение будет использовано для доказательства обоих равенств.

а)

Необходимо доказать, что $\sin\left(\frac{\alpha + \beta}{2}\right) = \cos\frac{\gamma}{2}$.

Возьмем левую часть равенства и подставим в нее выражение для $\alpha + \beta$, полученное из свойства о сумме углов треугольника:

$\sin\left(\frac{\alpha + \beta}{2}\right) = \sin\left(\frac{180^\circ - \gamma}{2}\right)$

Упростим выражение в скобках, разделив числитель на 2:

$\sin\left(\frac{180^\circ}{2} - \frac{\gamma}{2}\right) = \sin\left(90^\circ - \frac{\gamma}{2}\right)$

Теперь применим формулу приведения для синуса: $\sin(90^\circ - x) = \cos(x)$. В нашем случае $x = \frac{\gamma}{2}$.

$\sin\left(90^\circ - \frac{\gamma}{2}\right) = \cos\left(\frac{\gamma}{2}\right)$

Таким образом, мы преобразовали левую часть равенства к правой:

$\sin\left(\frac{\alpha + \beta}{2}\right) = \cos\frac{\gamma}{2}$

Что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано.

б)

Необходимо доказать, что $\text{tg}\left(\frac{\alpha + \beta}{2}\right) = \text{ctg}\frac{\gamma}{2}$.

Аналогично предыдущему пункту, воспользуемся тем, что $\alpha + \beta = 180^\circ - \gamma$. Отсюда следует:

$\frac{\alpha + \beta}{2} = \frac{180^\circ - \gamma}{2} = 90^\circ - \frac{\gamma}{2}$

Подставим это выражение в левую часть доказываемого равенства:

$\text{tg}\left(\frac{\alpha + \beta}{2}\right) = \text{tg}\left(90^\circ - \frac{\gamma}{2}\right)$

Теперь применим формулу приведения для тангенса: $\text{tg}(90^\circ - x) = \text{ctg}(x)$. В нашем случае $x = \frac{\gamma}{2}$.

$\text{tg}\left(90^\circ - \frac{\gamma}{2}\right) = \text{ctg}\left(\frac{\gamma}{2}\right)$

Мы получили, что левая часть равенства тождественно равна правой:

$\text{tg}\left(\frac{\alpha + \beta}{2}\right) = \text{ctg}\frac{\gamma}{2}$

Что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано.