Номер 671, страница 194 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

Авторы: Солтан Г. Н., Солтан А. Е., Жумадилова А. Ж.
Тип: Учебник
Издательство: Кокшетау
Год издания: 2019 - 2025
Цвет обложки:
ISBN: 978-601-317-424-2
Рекомендовано Министерством образования и науки Республики Казахстан
Популярные ГДЗ в 9 классе
25. Формулы приведения. IV. Тригонометрия - номер 671, страница 194.
№671 (с. 194)
Условие. №671 (с. 194)
скриншот условия

671. Докажите, что для углов $\alpha, \beta, \gamma$ треугольника верны соотношения:
а) $\sin \left(\frac{\alpha+\beta}{2}\right)=\cos \frac{\gamma}{2}$
б) $\tan \left(\frac{\alpha+\beta}{2}\right)=\cot \frac{\gamma}{2}$.
Решение. №671 (с. 194)

Решение 2 (rus). №671 (с. 194)
Поскольку $\alpha$, $\beta$ и $\gamma$ являются углами одного треугольника, их сумма равна $180^\circ$ (или $\pi$ радиан).
$\alpha + \beta + \gamma = 180^\circ$
Из этого соотношения мы можем выразить сумму углов $\alpha + \beta$:
$\alpha + \beta = 180^\circ - \gamma$
Это соотношение будет использовано для доказательства обоих равенств.
а)
Необходимо доказать, что $\sin\left(\frac{\alpha + \beta}{2}\right) = \cos\frac{\gamma}{2}$.
Возьмем левую часть равенства и подставим в нее выражение для $\alpha + \beta$, полученное из свойства о сумме углов треугольника:
$\sin\left(\frac{\alpha + \beta}{2}\right) = \sin\left(\frac{180^\circ - \gamma}{2}\right)$
Упростим выражение в скобках, разделив числитель на 2:
$\sin\left(\frac{180^\circ}{2} - \frac{\gamma}{2}\right) = \sin\left(90^\circ - \frac{\gamma}{2}\right)$
Теперь применим формулу приведения для синуса: $\sin(90^\circ - x) = \cos(x)$. В нашем случае $x = \frac{\gamma}{2}$.
$\sin\left(90^\circ - \frac{\gamma}{2}\right) = \cos\left(\frac{\gamma}{2}\right)$
Таким образом, мы преобразовали левую часть равенства к правой:
$\sin\left(\frac{\alpha + \beta}{2}\right) = \cos\frac{\gamma}{2}$
Что и требовалось доказать.
Ответ: Доказано.
б)
Необходимо доказать, что $\text{tg}\left(\frac{\alpha + \beta}{2}\right) = \text{ctg}\frac{\gamma}{2}$.
Аналогично предыдущему пункту, воспользуемся тем, что $\alpha + \beta = 180^\circ - \gamma$. Отсюда следует:
$\frac{\alpha + \beta}{2} = \frac{180^\circ - \gamma}{2} = 90^\circ - \frac{\gamma}{2}$
Подставим это выражение в левую часть доказываемого равенства:
$\text{tg}\left(\frac{\alpha + \beta}{2}\right) = \text{tg}\left(90^\circ - \frac{\gamma}{2}\right)$
Теперь применим формулу приведения для тангенса: $\text{tg}(90^\circ - x) = \text{ctg}(x)$. В нашем случае $x = \frac{\gamma}{2}$.
$\text{tg}\left(90^\circ - \frac{\gamma}{2}\right) = \text{ctg}\left(\frac{\gamma}{2}\right)$
Мы получили, что левая часть равенства тождественно равна правой:
$\text{tg}\left(\frac{\alpha + \beta}{2}\right) = \text{ctg}\frac{\gamma}{2}$
Что и требовалось доказать.
Ответ: Доказано.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 9 класс, для упражнения номер 671 расположенного на странице 194 к учебнику 2019 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №671 (с. 194), авторов: Солтан (Генадий Николаевич), Солтан (Алла Евгеньевна), Жумадилова (Аманбала Жумадиловна), учебного пособия издательства Кокшетау.