Номер 676, страница 195 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

25. Формулы приведения. IV. Тригонометрия - номер 676, страница 195.

Условие.

676. Известно, что $tg(0,5\pi + \alpha) = -2$. Найдите:

а)

$ \frac{5\sin(1,5\pi - \alpha) + 4\cos(3,5\pi + \alpha)}{7\sin(\alpha + 3\pi) - \cos(5\pi - \alpha)} $;

б)

$ \frac{8\cos^2(\pi + \alpha) - 3\sin^2(7,5\pi + \alpha)}{2\cos^2(2,5\pi - \alpha) + 9\sin(2\pi - \alpha) \cdot \cos(8\pi + \alpha)} $.

Решение.

Решение 2 (rus).

а) Сначала упростим данное условие. Используем формулу приведения для тангенса: $tg(0,5\pi + \alpha) = tg(\frac{\pi}{2} + \alpha) = -ctg(\alpha)$.
По условию $tg(0,5\pi + \alpha) = -2$, следовательно, $-ctg(\alpha) = -2$, откуда $ctg(\alpha) = 2$.
Так как $tg(\alpha) = \frac{1}{ctg(\alpha)}$, получаем $tg(\alpha) = \frac{1}{2}$.
Теперь упростим данное выражение, используя формулы приведения и периодичности тригонометрических функций:
$\frac{5\sin(1,5\pi - \alpha) + 4\cos(3,5\pi + \alpha)}{7\sin(\alpha + 3\pi) - \cos(5\pi - \alpha)}$
Упростим каждый член в числителе и знаменателе:
$\sin(1,5\pi - \alpha) = \sin(\frac{3\pi}{2} - \alpha) = -\cos(\alpha)$
$\cos(3,5\pi + \alpha) = \cos(\frac{7\pi}{2} + \alpha) = \cos(4\pi - \frac{\pi}{2} + \alpha) = \cos(-\frac{\pi}{2} + \alpha) = \cos(\frac{\pi}{2} - \alpha) = \sin(\alpha)$
$\sin(\alpha + 3\pi) = \sin(\alpha + \pi + 2\pi) = \sin(\alpha + \pi) = -\sin(\alpha)$
$\cos(5\pi - \alpha) = \cos(\pi + 4\pi - \alpha) = \cos(\pi - \alpha) = -\cos(\alpha)$
Подставим упрощенные выражения в исходную дробь:
$\frac{5(-\cos(\alpha)) + 4\sin(\alpha)}{7(-\sin(\alpha)) - (-\cos(\alpha))} = \frac{-5\cos(\alpha) + 4\sin(\alpha)}{-7\sin(\alpha) + \cos(\alpha)}$
Чтобы использовать известное значение тангенса, разделим числитель и знаменатель на $\cos(\alpha)$ (это возможно, так как $tg(\alpha)$ определен, а значит $\cos(\alpha) \neq 0$):
$\frac{\frac{-5\cos(\alpha)}{\cos(\alpha)} + \frac{4\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)}}{\frac{-7\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)} + \frac{\cos(\alpha)}{\cos(\alpha)}} = \frac{-5 + 4tg(\alpha)}{-7tg(\alpha) + 1}$
Подставим значение $tg(\alpha) = \frac{1}{2}$:
$\frac{-5 + 4 \cdot \frac{1}{2}}{-7 \cdot \frac{1}{2} + 1} = \frac{-5 + 2}{-\frac{7}{2} + 1} = \frac{-3}{-\frac{5}{2}} = 3 \cdot \frac{2}{5} = \frac{6}{5}$.
Ответ: $\frac{6}{5}$.

б) Упростим данное выражение, используя формулы приведения и периодичности тригонометрических функций:
$\frac{8\cos^2(\pi + \alpha) - 3\sin^2(7,5\pi + \alpha)}{2\cos^2(2,5\pi - \alpha) + 9\sin(2\pi - \alpha) \cdot \cos(8\pi + \alpha)}$
Упростим каждый член выражения:
$\cos^2(\pi + \alpha) = (-\cos(\alpha))^2 = \cos^2(\alpha)$
$\sin(7,5\pi + \alpha) = \sin(\frac{15\pi}{2} + \alpha) = \sin(6\pi + \frac{3\pi}{2} + \alpha) = \sin(\frac{3\pi}{2} + \alpha) = -\cos(\alpha)$, поэтому $\sin^2(7,5\pi + \alpha) = (-\cos(\alpha))^2 = \cos^2(\alpha)$
$\cos(2,5\pi - \alpha) = \cos(\frac{5\pi}{2} - \alpha) = \cos(2\pi + \frac{\pi}{2} - \alpha) = \cos(\frac{\pi}{2} - \alpha) = \sin(\alpha)$, поэтому $\cos^2(2,5\pi - \alpha) = \sin^2(\alpha)$
$\sin(2\pi - \alpha) = -\sin(\alpha)$
$\cos(8\pi + \alpha) = \cos(\alpha)$
Подставим упрощенные выражения в дробь. Числитель станет:
$8\cos^2(\alpha) - 3\cos^2(\alpha) = 5\cos^2(\alpha)$
Знаменатель станет:
$2\sin^2(\alpha) + 9(-\sin(\alpha))\cos(\alpha) = 2\sin^2(\alpha) - 9\sin(\alpha)\cos(\alpha)$
Таким образом, выражение принимает вид:
$\frac{5\cos^2(\alpha)}{2\sin^2(\alpha) - 9\sin(\alpha)\cos(\alpha)}$
Разделим числитель и знаменатель на $\cos^2(\alpha)$:
$\frac{\frac{5\cos^2(\alpha)}{\cos^2(\alpha)}}{\frac{2\sin^2(\alpha)}{\cos^2(\alpha)} - \frac{9\sin(\alpha)\cos(\alpha)}{\cos^2(\alpha)}} = \frac{5}{2tg^2(\alpha) - 9tg(\alpha)}$
Подставим значение $tg(\alpha) = \frac{1}{2}$:
$\frac{5}{2(\frac{1}{2})^2 - 9(\frac{1}{2})} = \frac{5}{2 \cdot \frac{1}{4} - \frac{9}{2}} = \frac{5}{\frac{1}{2} - \frac{9}{2}} = \frac{5}{-\frac{8}{2}} = \frac{5}{-4} = -\frac{5}{4}$.
Ответ: $-\frac{5}{4}$.