Номер 680, страница 195 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

25. Формулы приведения. IV. Тригонометрия - номер 680, страница 195.

Условие.

680. Дана задача «Боковые стороны AB и DC трапеции ABCD перпендикулярны. Найти площадь этой трапеции, если AB = 1 дм, $\angle BAC = \angle CDA = \alpha$». Ее решение Даша начала так: площадь данной трапеции равна сумме площадей треугольников ABC и ACD (рисунок 71):

$S_{ABCD} = \frac{1}{2}AB \cdot AC \cdot \sin \alpha + \frac{1}{2}AC \cdot AD \cdot \sin \angle CAD.$

Найдем неизвестные величины AC, AD, используя теорему синусов для треугольников ABC и ADC. Продолжите ее решение.

Решение.

Решение 2 (rus).

Продолжим решение задачи, начатое Дашей. Для этого нам необходимо найти неизвестные величины: длину стороны $AC$, длину стороны $AD$ и угол $\angle CAD$.

1. Найдем углы в трапеции.

По условию, боковые стороны $AB$ и $DC$ трапеции перпендикулярны. Это означает, что прямые, содержащие эти стороны, пересекаются под прямым углом. Обозначим точку их пересечения как $K$. Тогда $\triangle AKD$ является прямоугольным с $\angle AKD = 90°$.

В прямоугольном $\triangle AKD$ один из острых углов равен $\angle KDA = \angle CDA = \alpha$. Следовательно, другой острый угол $\angle KAD = 90° - \alpha$.

Угол $\angle BAD$ трапеции равен углу $\angle KAD$, то есть $\angle BAD = 90° - \alpha$.Угол $\angle BAD$ также является суммой двух углов: $\angle BAD = \angle BAC + \angle CAD$.По условию $\angle BAC = \alpha$, значит, мы можем найти $\angle CAD$:$90° - \alpha = \alpha + \angle CAD$$\angle CAD = 90° - 2\alpha$.

Поскольку $ABCD$ — трапеция, ее основания $BC$ и $AD$ параллельны ($BC \parallel AD$). Прямая $AC$ является секущей. Поэтому накрест лежащие углы равны: $\angle BCA = \angle CAD = 90° - 2\alpha$.

Теперь рассмотрим $\triangle ABC$. Сумма его углов равна $180°$. Мы знаем два угла: $\angle BAC = \alpha$ и $\angle BCA = 90° - 2\alpha$. Найдем третий угол, $\angle ABC$:$\angle ABC = 180° - (\angle BAC + \angle BCA) = 180° - (\alpha + 90° - 2\alpha) = 180° - (90° - \alpha) = 90° + \alpha$.

Аналогично найдем угол $\angle ACD$ в $\triangle ADC$. Мы знаем $\angle CAD = 90° - 2\alpha$ и $\angle CDA = \alpha$.$\angle ACD = 180° - (\angle CAD + \angle CDA) = 180° - (90° - 2\alpha + \alpha) = 180° - (90° - \alpha) = 90° + \alpha$.

2. Найдем длины сторон $AC$ и $AD$ по теореме синусов.

Применим теорему синусов для $\triangle ABC$:$\frac{AB}{\sin(\angle BCA)} = \frac{AC}{\sin(\angle ABC)}$Подставим известные значения ($AB=1$ дм) и выражения для углов:$\frac{1}{\sin(90° - 2\alpha)} = \frac{AC}{\sin(90° + \alpha)}$Используя формулы приведения ($\sin(90° - x) = \cos(x)$ и $\sin(90° + x) = \cos(x)$), получаем:$\frac{1}{\cos(2\alpha)} = \frac{AC}{\cos(\alpha)}$Отсюда выражаем $AC$:$AC = \frac{\cos(\alpha)}{\cos(2\alpha)}$.

Теперь применим теорему синусов для $\triangle ADC$:$\frac{AC}{\sin(\angle CDA)} = \frac{AD}{\sin(\angle ACD)}$Подставим известные выражения для сторон и углов:$\frac{AC}{\sin(\alpha)} = \frac{AD}{\sin(90° + \alpha)}$$\frac{AC}{\sin(\alpha)} = \frac{AD}{\cos(\alpha)}$Выражаем $AD$:$AD = AC \cdot \frac{\cos(\alpha)}{\sin(\alpha)} = \frac{\cos(\alpha)}{\cos(2\alpha)} \cdot \frac{\cos(\alpha)}{\sin(\alpha)} = \frac{\cos^2(\alpha)}{\sin(\alpha)\cos(2\alpha)}$.

3. Вычислим площадь трапеции.

Подставим найденные величины в формулу Даши:$S_{ABCD} = S_{ABC} + S_{ACD} = \frac{1}{2}AB \cdot AC \cdot \sin(\angle BAC) + \frac{1}{2}AC \cdot AD \cdot \sin(\angle CAD)$$S_{ABCD} = \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot \left(\frac{\cos(\alpha)}{\cos(2\alpha)}\right) \cdot \sin(\alpha) + \frac{1}{2}\left(\frac{\cos(\alpha)}{\cos(2\alpha)}\right) \cdot \left(\frac{\cos^2(\alpha)}{\sin(\alpha)\cos(2\alpha)}\right) \cdot \sin(90° - 2\alpha)$Упростим выражение. Заметим, что $\sin(90° - 2\alpha) = \cos(2\alpha)$.$S_{ABCD} = \frac{\sin(\alpha)\cos(\alpha)}{2\cos(2\alpha)} + \frac{1}{2} \frac{\cos^3(\alpha)}{\sin(\alpha)\cos^2(2\alpha)} \cdot \cos(2\alpha)$$S_{ABCD} = \frac{\sin(\alpha)\cos(\alpha)}{2\cos(2\alpha)} + \frac{\cos^3(\alpha)}{2\sin(\alpha)\cos(2\alpha)}$Приведем к общему знаменателю $2\sin(\alpha)\cos(2\alpha)$:$S_{ABCD} = \frac{\sin^2(\alpha)\cos(\alpha) + \cos^3(\alpha)}{2\sin(\alpha)\cos(2\alpha)}$В числителе вынесем $\cos(\alpha)$ за скобки:$S_{ABCD} = \frac{\cos(\alpha)(\sin^2(\alpha) + \cos^2(\alpha))}{2\sin(\alpha)\cos(2\alpha)}$Используя основное тригонометрическое тождество $\sin^2(\alpha) + \cos^2(\alpha) = 1$, получаем:$S_{ABCD} = \frac{\cos(\alpha)}{2\sin(\alpha)\cos(2\alpha)}$Так как $\frac{\cos(\alpha)}{\sin(\alpha)} = \cot(\alpha)$, окончательное выражение для площади:$S_{ABCD} = \frac{\cot(\alpha)}{2\cos(2\alpha)}$.

Ответ: $S_{ABCD} = \frac{\cot(\alpha)}{2\cos(2\alpha)}$ дм$^2$.