Номер 681, страница 195 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

25. Формулы приведения. IV. Тригонометрия - номер 681, страница 195.

Условие.

681. Докажите, что верно неравенство:

а) $ \sin^2(0,5\pi + x) - \operatorname{tg}^2(0,5\pi + x) \le 0 $ при всех допустимых значениях x;

б) $ \operatorname{tg}(1,5\pi - x) + \operatorname{ctg}(1,5\pi - x) > \sqrt{\pi} $ при $ x \in (0; \frac{\pi}{2}) $.

Решение.

Решение 2 (rus).

а) Требуется доказать неравенство $ \sin^2(0,5\pi + x) - \tg^2(0,5\pi + x) \le 0 $ при всех допустимых значениях $ x $.

Сначала преобразуем левую часть неравенства, используя формулы приведения. Аргумент функций равен $ 0,5\pi + x = \frac{\pi}{2} + x $.

Для синуса: $ \sin(\frac{\pi}{2} + x) = \cos(x) $.

Для тангенса: $ \tg(\frac{\pi}{2} + x) = -\ctg(x) $.

Подставив эти выражения в левую часть неравенства, получим:

$ \sin^2(\frac{\pi}{2} + x) - \tg^2(\frac{\pi}{2} + x) = (\cos(x))^2 - (-\ctg(x))^2 = \cos^2(x) - \ctg^2(x) $.

Область допустимых значений (ОДЗ) исходного выражения определяется условием существования $ \tg(\frac{\pi}{2} + x) $. Тангенс не определен, когда его аргумент равен $ \frac{\pi}{2} + \pi k $, где $ k $ - целое число. Таким образом, $ \frac{\pi}{2} + x \neq \frac{\pi}{2} + \pi k $, что приводит к условию $ x \neq \pi k $, $ k \in \mathbb{Z} $. При этих значениях $ x $ также выполняется условие $ \sin(x) \neq 0 $, необходимое для существования котангенса.

Теперь преобразуем полученное выражение, используя определение котангенса $ \ctg(x) = \frac{\cos(x)}{\sin(x)} $:

$ \cos^2(x) - \ctg^2(x) = \cos^2(x) - \frac{\cos^2(x)}{\sin^2(x)} $.

Вынесем $ \cos^2(x) $ за скобки:

$ \cos^2(x) \left(1 - \frac{1}{\sin^2(x)}\right) = \cos^2(x) \left(\frac{\sin^2(x) - 1}{\sin^2(x)}\right) $.

Из основного тригонометрического тождества $ \sin^2(x) + \cos^2(x) = 1 $ следует, что $ \sin^2(x) - 1 = -\cos^2(x) $. Подставим это в наше выражение:

$ \cos^2(x) \left(\frac{-\cos^2(x)}{\sin^2(x)}\right) = -\frac{\cos^4(x)}{\sin^2(x)} $.

Проанализируем знак полученного выражения. Поскольку $ \cos^4(x) = (\cos^2(x))^2 \ge 0 $ для любого $ x $, и $ \sin^2(x) > 0 $ на области допустимых значений, то дробь $ \frac{\cos^4(x)}{\sin^2(x)} $ всегда неотрицательна. Следовательно, выражение $ -\frac{\cos^4(x)}{\sin^2(x)} $ всегда меньше или равно нулю.

Таким образом, мы доказали, что $ \sin^2(0,5\pi + x) - \tg^2(0,5\pi + x) \le 0 $ для всех допустимых $ x $.

Ответ: Неравенство доказано.

б) Требуется доказать неравенство $ \tg(1,5\pi - x) + \ctg(1,5\pi - x) > \sqrt{\pi} $ при $ x \in (0; \frac{\pi}{2}) $.

Преобразуем левую часть неравенства с помощью формул приведения. Аргумент функций равен $ 1,5\pi - x = \frac{3\pi}{2} - x $.

Для тангенса: $ \tg(\frac{3\pi}{2} - x) = \ctg(x) $.

Для котангенса: $ \ctg(\frac{3\pi}{2} - x) = \tg(x) $.

Левая часть неравенства принимает вид:

$ \ctg(x) + \tg(x) $.

Приведем выражение к общему знаменателю:

$ \frac{\cos(x)}{\sin(x)} + \frac{\sin(x)}{\cos(x)} = \frac{\cos^2(x) + \sin^2(x)}{\sin(x)\cos(x)} $.

Используя основное тригонометрическое тождество $ \sin^2(x) + \cos^2(x) = 1 $ и формулу синуса двойного угла $ \sin(2x) = 2\sin(x)\cos(x) $, получим:

$ \frac{1}{\sin(x)\cos(x)} = \frac{2}{2\sin(x)\cos(x)} = \frac{2}{\sin(2x)} $.

Теперь нужно исследовать значения этого выражения при $ x \in (0; \frac{\pi}{2}) $.

Если $ x $ изменяется в интервале $ (0; \frac{\pi}{2}) $, то аргумент $ 2x $ изменяется в интервале $ (0; \pi) $.

В интервале $ (0; \pi) $ синус принимает положительные значения, причем $ 0 < \sin(2x) \le 1 $. Максимальное значение $ \sin(2x) = 1 $ достигается при $ 2x = \frac{\pi}{2} $, то есть $ x = \frac{\pi}{4} $.

Наименьшее значение выражения $ \frac{2}{\sin(2x)} $ достигается тогда, когда знаменатель $ \sin(2x) $ максимален. Таким образом, минимальное значение левой части неравенства равно $ \frac{2}{1} = 2 $.

Итак, для всех $ x \in (0; \frac{\pi}{2}) $ выполняется неравенство $ \tg(1,5\pi - x) + \ctg(1,5\pi - x) \ge 2 $.

Осталось сравнить $ 2 $ и $ \sqrt{\pi} $. Мы знаем, что число $ \pi \approx 3,14159... $, следовательно $ \pi < 4 $. Так как функция квадратного корня является возрастающей для положительных чисел, из $ \pi < 4 $ следует, что $ \sqrt{\pi} < \sqrt{4} $, то есть $ \sqrt{\pi} < 2 $.

Мы установили, что $ \tg(1,5\pi - x) + \ctg(1,5\pi - x) \ge 2 $ и $ 2 > \sqrt{\pi} $. Отсюда следует, что $ \tg(1,5\pi - x) + \ctg(1,5\pi - x) > \sqrt{\pi} $ для всех $ x \in (0; \frac{\pi}{2}) $.

Ответ: Неравенство доказано.