Номер 681, страница 195 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

Авторы: Солтан Г. Н., Солтан А. Е., Жумадилова А. Ж.
Тип: Учебник
Издательство: Кокшетау
Год издания: 2019 - 2025
Цвет обложки:
ISBN: 978-601-317-424-2
Рекомендовано Министерством образования и науки Республики Казахстан
Популярные ГДЗ в 9 классе
25. Формулы приведения. IV. Тригонометрия - номер 681, страница 195.
№681 (с. 195)
Условие. №681 (с. 195)
скриншот условия

681. Докажите, что верно неравенство:
а) $ \sin^2(0,5\pi + x) - \operatorname{tg}^2(0,5\pi + x) \le 0 $ при всех допустимых значениях x;
б) $ \operatorname{tg}(1,5\pi - x) + \operatorname{ctg}(1,5\pi - x) > \sqrt{\pi} $ при $ x \in (0; \frac{\pi}{2}) $.
Решение. №681 (с. 195)


Решение 2 (rus). №681 (с. 195)
а) Требуется доказать неравенство $ \sin^2(0,5\pi + x) - \tg^2(0,5\pi + x) \le 0 $ при всех допустимых значениях $ x $.
Сначала преобразуем левую часть неравенства, используя формулы приведения. Аргумент функций равен $ 0,5\pi + x = \frac{\pi}{2} + x $.
Для синуса: $ \sin(\frac{\pi}{2} + x) = \cos(x) $.
Для тангенса: $ \tg(\frac{\pi}{2} + x) = -\ctg(x) $.
Подставив эти выражения в левую часть неравенства, получим:
$ \sin^2(\frac{\pi}{2} + x) - \tg^2(\frac{\pi}{2} + x) = (\cos(x))^2 - (-\ctg(x))^2 = \cos^2(x) - \ctg^2(x) $.
Область допустимых значений (ОДЗ) исходного выражения определяется условием существования $ \tg(\frac{\pi}{2} + x) $. Тангенс не определен, когда его аргумент равен $ \frac{\pi}{2} + \pi k $, где $ k $ - целое число. Таким образом, $ \frac{\pi}{2} + x \neq \frac{\pi}{2} + \pi k $, что приводит к условию $ x \neq \pi k $, $ k \in \mathbb{Z} $. При этих значениях $ x $ также выполняется условие $ \sin(x) \neq 0 $, необходимое для существования котангенса.
Теперь преобразуем полученное выражение, используя определение котангенса $ \ctg(x) = \frac{\cos(x)}{\sin(x)} $:
$ \cos^2(x) - \ctg^2(x) = \cos^2(x) - \frac{\cos^2(x)}{\sin^2(x)} $.
Вынесем $ \cos^2(x) $ за скобки:
$ \cos^2(x) \left(1 - \frac{1}{\sin^2(x)}\right) = \cos^2(x) \left(\frac{\sin^2(x) - 1}{\sin^2(x)}\right) $.
Из основного тригонометрического тождества $ \sin^2(x) + \cos^2(x) = 1 $ следует, что $ \sin^2(x) - 1 = -\cos^2(x) $. Подставим это в наше выражение:
$ \cos^2(x) \left(\frac{-\cos^2(x)}{\sin^2(x)}\right) = -\frac{\cos^4(x)}{\sin^2(x)} $.
Проанализируем знак полученного выражения. Поскольку $ \cos^4(x) = (\cos^2(x))^2 \ge 0 $ для любого $ x $, и $ \sin^2(x) > 0 $ на области допустимых значений, то дробь $ \frac{\cos^4(x)}{\sin^2(x)} $ всегда неотрицательна. Следовательно, выражение $ -\frac{\cos^4(x)}{\sin^2(x)} $ всегда меньше или равно нулю.
Таким образом, мы доказали, что $ \sin^2(0,5\pi + x) - \tg^2(0,5\pi + x) \le 0 $ для всех допустимых $ x $.
Ответ: Неравенство доказано.
б) Требуется доказать неравенство $ \tg(1,5\pi - x) + \ctg(1,5\pi - x) > \sqrt{\pi} $ при $ x \in (0; \frac{\pi}{2}) $.
Преобразуем левую часть неравенства с помощью формул приведения. Аргумент функций равен $ 1,5\pi - x = \frac{3\pi}{2} - x $.
Для тангенса: $ \tg(\frac{3\pi}{2} - x) = \ctg(x) $.
Для котангенса: $ \ctg(\frac{3\pi}{2} - x) = \tg(x) $.
Левая часть неравенства принимает вид:
$ \ctg(x) + \tg(x) $.
Приведем выражение к общему знаменателю:
$ \frac{\cos(x)}{\sin(x)} + \frac{\sin(x)}{\cos(x)} = \frac{\cos^2(x) + \sin^2(x)}{\sin(x)\cos(x)} $.
Используя основное тригонометрическое тождество $ \sin^2(x) + \cos^2(x) = 1 $ и формулу синуса двойного угла $ \sin(2x) = 2\sin(x)\cos(x) $, получим:
$ \frac{1}{\sin(x)\cos(x)} = \frac{2}{2\sin(x)\cos(x)} = \frac{2}{\sin(2x)} $.
Теперь нужно исследовать значения этого выражения при $ x \in (0; \frac{\pi}{2}) $.
Если $ x $ изменяется в интервале $ (0; \frac{\pi}{2}) $, то аргумент $ 2x $ изменяется в интервале $ (0; \pi) $.
В интервале $ (0; \pi) $ синус принимает положительные значения, причем $ 0 < \sin(2x) \le 1 $. Максимальное значение $ \sin(2x) = 1 $ достигается при $ 2x = \frac{\pi}{2} $, то есть $ x = \frac{\pi}{4} $.
Наименьшее значение выражения $ \frac{2}{\sin(2x)} $ достигается тогда, когда знаменатель $ \sin(2x) $ максимален. Таким образом, минимальное значение левой части неравенства равно $ \frac{2}{1} = 2 $.
Итак, для всех $ x \in (0; \frac{\pi}{2}) $ выполняется неравенство $ \tg(1,5\pi - x) + \ctg(1,5\pi - x) \ge 2 $.
Осталось сравнить $ 2 $ и $ \sqrt{\pi} $. Мы знаем, что число $ \pi \approx 3,14159... $, следовательно $ \pi < 4 $. Так как функция квадратного корня является возрастающей для положительных чисел, из $ \pi < 4 $ следует, что $ \sqrt{\pi} < \sqrt{4} $, то есть $ \sqrt{\pi} < 2 $.
Мы установили, что $ \tg(1,5\pi - x) + \ctg(1,5\pi - x) \ge 2 $ и $ 2 > \sqrt{\pi} $. Отсюда следует, что $ \tg(1,5\pi - x) + \ctg(1,5\pi - x) > \sqrt{\pi} $ для всех $ x \in (0; \frac{\pi}{2}) $.
Ответ: Неравенство доказано.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 9 класс, для упражнения номер 681 расположенного на странице 195 к учебнику 2019 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №681 (с. 195), авторов: Солтан (Генадий Николаевич), Солтан (Алла Евгеньевна), Жумадилова (Аманбала Жумадиловна), учебного пособия издательства Кокшетау.