Номер 667, страница 193 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

25. Формулы приведения. IV. Тригонометрия - номер 667, страница 193.

Условие.

667. Вычислите:

а) $\sin\left(\frac{3\pi}{2} + \alpha\right)$, если $\sin \alpha = \frac{12}{13}$ и $\alpha \in \left(\frac{\pi}{2}; \pi\right)$;

б) $\cos(\pi + \alpha)$, если $\sin \alpha = -\frac{7}{9}$ и $\alpha \in \left(\pi; \frac{3\pi}{2}\right)$;

в) $\operatorname{tg}(2\pi - \alpha)$, если $\cos \alpha = -\frac{4}{5}$ и $\alpha \in \left(\frac{\pi}{2}; \pi\right)$.

Решение.

Решение 2 (rus).

а) Вычислим $ \sin(\frac{3\pi}{2} + \alpha) $, если $ \sin \alpha = \frac{12}{13} $ и $ \alpha \in (\frac{\pi}{2}; \pi) $.

Сначала применим формулу приведения. Так как в аргументе синуса стоит угол $ \frac{3\pi}{2} $, функция меняется на кофункцию, то есть на косинус. Угол $ \alpha $ находится во второй четверти ($ \frac{\pi}{2} < \alpha < \pi $), значит угол $ (\frac{3\pi}{2} + \alpha) $ находится в четвертой четверти ($ 2\pi < \frac{3\pi}{2} + \alpha < \frac{5\pi}{2} $). В четвертой четверти синус отрицателен, поэтому $ \sin(\frac{3\pi}{2} + \alpha) = -\cos \alpha $.

Теперь найдем значение $ \cos \alpha $. Мы знаем, что $ \alpha \in (\frac{\pi}{2}; \pi) $, то есть угол находится во второй четверти, где косинус имеет отрицательное значение.

Воспользуемся основным тригонометрическим тождеством: $ \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 $.

Выразим из него $ \cos^2 \alpha $: $ \cos^2 \alpha = 1 - \sin^2 \alpha $.

Подставим известное значение $ \sin \alpha = \frac{12}{13} $:

$ \cos^2 \alpha = 1 - (\frac{12}{13})^2 = 1 - \frac{144}{169} = \frac{169 - 144}{169} = \frac{25}{169} $.

Поскольку $ \alpha $ находится во второй четверти, $ \cos \alpha < 0 $, следовательно:

$ \cos \alpha = -\sqrt{\frac{25}{169}} = -\frac{5}{13} $.

Теперь можем вычислить искомое выражение:

$ \sin(\frac{3\pi}{2} + \alpha) = -\cos \alpha = -(-\frac{5}{13}) = \frac{5}{13} $.

Ответ: $ \frac{5}{13} $.

б) Вычислим $ \cos(\pi + \alpha) $, если $ \sin \alpha = -\frac{7}{9} $ и $ \alpha \in (\pi; \frac{3\pi}{2}) $.

Применим формулу приведения. Так как в аргументе косинуса стоит угол $ \pi $, функция не меняется. Угол $ (\pi + \alpha) $ находится в первой четверти следующего оборота ($ 2\pi < \pi + \alpha < \frac{5\pi}{2} $), так как сам угол $ \alpha $ находится в третьей четверти. Однако, по правилу приведения, мы считаем $ \alpha $ малым острым углом, тогда $ (\pi+\alpha) $ попадает в третью четверть, где косинус отрицателен. Значит, $ \cos(\pi + \alpha) = -\cos \alpha $.

Теперь найдем значение $ \cos \alpha $. По условию $ \alpha \in (\pi; \frac{3\pi}{2}) $, что соответствует третьей четверти. В этой четверти косинус отрицателен.

Используем основное тригонометрическое тождество $ \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 $.

$ \cos^2 \alpha = 1 - \sin^2 \alpha $.

Подставим известное значение $ \sin \alpha = -\frac{7}{9} $:

$ \cos^2 \alpha = 1 - (-\frac{7}{9})^2 = 1 - \frac{49}{81} = \frac{81 - 49}{81} = \frac{32}{81} $.

Так как $ \alpha $ находится в третьей четверти, $ \cos \alpha < 0 $, поэтому:

$ \cos \alpha = -\sqrt{\frac{32}{81}} = -\frac{\sqrt{16 \cdot 2}}{9} = -\frac{4\sqrt{2}}{9} $.

Вычислим искомое выражение:

$ \cos(\pi + \alpha) = -\cos \alpha = -(-\frac{4\sqrt{2}}{9}) = \frac{4\sqrt{2}}{9} $.

Ответ: $ \frac{4\sqrt{2}}{9} $.

в) Вычислим $ \text{tg}(2\pi - \alpha) $, если $ \cos \alpha = -\frac{4}{5} $ и $ \alpha \in (\frac{\pi}{2}; \pi) $.

Используем формулу приведения. Так как в аргументе тангенса стоит угол $ 2\pi $, функция не меняется. Угол $ (2\pi - \alpha) $ находится в третьей четверти ($ \pi < 2\pi - \alpha < \frac{3\pi}{2} $), так как $ \alpha $ находится во второй четверти. В третьей четверти тангенс положителен. Однако по правилу приведения, мы считаем $ \alpha $ малым острым углом, тогда $ (2\pi - \alpha) $ находится в четвертой четверти, где тангенс отрицателен. Поэтому $ \text{tg}(2\pi - \alpha) = -\text{tg} \alpha $.

Теперь найдем значение $ \text{tg} \alpha $. Нам известно, что $ \text{tg} \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} $. Значение $ \cos \alpha $ дано, найдем $ \sin \alpha $.

По условию, $ \alpha \in (\frac{\pi}{2}; \pi) $, это вторая четверть, где синус положителен.

Из основного тригонометрического тождества $ \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 $ имеем:

$ \sin^2 \alpha = 1 - \cos^2 \alpha = 1 - (-\frac{4}{5})^2 = 1 - \frac{16}{25} = \frac{9}{25} $.

Так как $ \alpha $ во второй четверти, $ \sin \alpha > 0 $, значит:

$ \sin \alpha = \sqrt{\frac{9}{25}} = \frac{3}{5} $.

Теперь можем найти тангенс:

$ \text{tg} \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \frac{3/5}{-4/5} = -\frac{3}{4} $.

Наконец, вычисляем искомое значение:

$ \text{tg}(2\pi - \alpha) = -\text{tg} \alpha = -(-\frac{3}{4}) = \frac{3}{4} $.

Ответ: $ \frac{3}{4} $.