Номер 658, страница 191 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

25. Формулы приведения. IV. Тригонометрия - номер 658, страница 191.

Условие.

658. Является ли тождеством равенство:

а) $ \sin(90^\circ + \alpha) = -\cos \alpha; $

б) $ \sin(180^\circ + \alpha) = -\sin \alpha; $

в) $ \cos(270^\circ - \alpha) = -\cos \alpha; $

г) $ \cos(90^\circ + \alpha) = -\sin \alpha; $

д) $ \operatorname{tg}(90^\circ + \alpha) = \operatorname{ctg} \alpha; $

е) $ \operatorname{ctg}(180^\circ + \alpha) = \operatorname{ctg} \alpha? $

Решение.

Решение 2 (rus).

а) Проверим, является ли равенство $ \sin(90^\circ + \alpha) = -\cos \alpha $ тождеством. Для этого используем формулы приведения.
1. Определим знак исходной функции. Угол $ 90^\circ + \alpha $ (при малом остром угле $ \alpha $) находится во второй координатной четверти. Синус во второй четверти положителен.
2. Определим, меняется ли функция. Так как в формуле присутствует $ 90^\circ $, функция $ \sin $ меняется на кофункцию $ \cos $.
Следовательно, верная формула приведения: $ \sin(90^\circ + \alpha) = \cos \alpha $.
Поскольку $ \cos \alpha \neq -\cos \alpha $ (за исключением случаев, когда $ \cos \alpha = 0 $), данное равенство не является тождеством.
Ответ: не является.

б) Проверим, является ли равенство $ \sin(180^\circ + \alpha) = -\sin \alpha $ тождеством. Используем формулы приведения.
1. Угол $ 180^\circ + \alpha $ находится в третьей координатной четверти. Синус в третьей четверти отрицателен.
2. Так как в формуле присутствует $ 180^\circ $, функция $ \sin $ не меняется.
Следовательно, формула приведения: $ \sin(180^\circ + \alpha) = -\sin \alpha $.
Данное равенство является тождеством.
Ответ: является.

в) Проверим, является ли равенство $ \cos(270^\circ - \alpha) = -\cos \alpha $ тождеством. Используем формулы приведения.
1. Угол $ 270^\circ - \alpha $ находится в третьей координатной четверти. Косинус в третьей четверти отрицателен.
2. Так как в формуле присутствует $ 270^\circ $, функция $ \cos $ меняется на кофункцию $ \sin $.
Следовательно, верная формула приведения: $ \cos(270^\circ - \alpha) = -\sin \alpha $.
Поскольку $ -\sin \alpha \neq -\cos \alpha $ в общем случае, данное равенство не является тождеством.
Ответ: не является.

г) Проверим, является ли равенство $ \cos(90^\circ + \alpha) = -\sin \alpha $ тождеством. Используем формулы приведения.
1. Угол $ 90^\circ + \alpha $ находится во второй координатной четверти. Косинус во второй четверти отрицателен.
2. Так как в формуле присутствует $ 90^\circ $, функция $ \cos $ меняется на кофункцию $ \sin $.
Следовательно, формула приведения: $ \cos(90^\circ + \alpha) = -\sin \alpha $.
Данное равенство является тождеством.
Ответ: является.

д) Проверим, является ли равенство $ \tg(90^\circ + \alpha) = \ctg \alpha $ тождеством. Используем формулы приведения.
1. Угол $ 90^\circ + \alpha $ находится во второй координатной четверти. Тангенс во второй четверти отрицателен.
2. Так как в формуле присутствует $ 90^\circ $, функция $ \tg $ меняется на кофункцию $ \ctg $.
Следовательно, верная формула приведения: $ \tg(90^\circ + \alpha) = -\ctg \alpha $.
Поскольку $ \ctg \alpha \neq -\ctg \alpha $ (за исключением случаев, когда $ \ctg \alpha = 0 $), данное равенство не является тождеством.
Ответ: не является.

е) Проверим, является ли равенство $ \ctg(180^\circ + \alpha) = \ctg \alpha $ тождеством. Используем формулы приведения.
1. Угол $ 180^\circ + \alpha $ находится в третьей координатной четверти. Котангенс в третьей четверти положителен (так как $ \cos $ и $ \sin $ оба отрицательны, и их отношение положительно).
2. Так как в формуле присутствует $ 180^\circ $, функция $ \ctg $ не меняется.
Следовательно, формула приведения: $ \ctg(180^\circ + \alpha) = \ctg \alpha $.
Данное равенство является тождеством.
Ответ: является.