Номер 654, страница 188 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

24. Основные тригонометрические тождества. IV. Тригонометрия - номер 654, страница 188.

Условие.

654. Известно, что $tg a + ctg a = \sqrt{10}$. Найдите значение выражения:

a) $tg^2 \alpha + ctg^2 \alpha$;

в) $tg \alpha - ctg \alpha$, если $tg \alpha < ctg \alpha$.

б) $tg^3 \alpha + ctg^3 \alpha$;

Решение.

Решение 2 (rus).

а) Нам нужно найти значение выражения $\text{tg}^2\alpha + \text{ctg}^2\alpha$.

Для этого возведем в квадрат данное в условии равенство $\text{tg }\alpha + \text{ctg }\alpha = \sqrt{10}$, используя формулу квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.

$(\text{tg }\alpha + \text{ctg }\alpha)^2 = (\sqrt{10})^2$

$\text{tg}^2\alpha + 2 \cdot \text{tg }\alpha \cdot \text{ctg }\alpha + \text{ctg}^2\alpha = 10$

Мы знаем, что тангенс и котангенс одного и того же угла являются взаимно обратными величинами, то есть $\text{tg }\alpha \cdot \text{ctg }\alpha = 1$. Подставим это значение в уравнение:

$\text{tg}^2\alpha + 2 \cdot 1 + \text{ctg}^2\alpha = 10$

$\text{tg}^2\alpha + \text{ctg}^2\alpha + 2 = 10$

Перенесем 2 в правую часть уравнения, чтобы найти искомое значение:

$\text{tg}^2\alpha + \text{ctg}^2\alpha = 10 - 2 = 8$.

Ответ: 8

б) Теперь найдем значение выражения $\text{tg}^3\alpha + \text{ctg}^3\alpha$.

Воспользуемся формулой суммы кубов: $a^3+b^3 = (a+b)(a^2-ab+b^2)$.

Применим ее для наших выражений, где $a = \text{tg }\alpha$ и $b = \text{ctg }\alpha$:

$\text{tg}^3\alpha + \text{ctg}^3\alpha = (\text{tg }\alpha + \text{ctg }\alpha)(\text{tg}^2\alpha - \text{tg }\alpha \cdot \text{ctg }\alpha + \text{ctg}^2\alpha)$

Из условия мы знаем, что $\text{tg }\alpha + \text{ctg }\alpha = \sqrt{10}$. Также мы знаем, что $\text{tg }\alpha \cdot \text{ctg }\alpha = 1$. Из пункта а) мы нашли, что $\text{tg}^2\alpha + \text{ctg}^2\alpha = 8$.

Подставим все известные значения в формулу:

$\text{tg}^3\alpha + \text{ctg}^3\alpha = (\sqrt{10}) \cdot (8 - 1) = 7\sqrt{10}$.

Альтернативный способ:

Можно использовать другую формулу, вытекающую из куба суммы: $a^3+b^3 = (a+b)^3 - 3ab(a+b)$.

$\text{tg}^3\alpha + \text{ctg}^3\alpha = (\text{tg }\alpha + \text{ctg }\alpha)^3 - 3 \cdot \text{tg }\alpha \cdot \text{ctg }\alpha \cdot (\text{tg }\alpha + \text{ctg }\alpha)$

Подставляем известные значения:

$\text{tg}^3\alpha + \text{ctg}^3\alpha = (\sqrt{10})^3 - 3 \cdot 1 \cdot (\sqrt{10}) = 10\sqrt{10} - 3\sqrt{10} = 7\sqrt{10}$.

Ответ: $7\sqrt{10}$

в) Найдем значение выражения $\text{tg }\alpha - \text{ctg }\alpha$ при условии, что $\text{tg }\alpha < \text{ctg }\alpha$.

Обозначим искомое выражение как $X$, то есть $X = \text{tg }\alpha - \text{ctg }\alpha$.

Чтобы найти $X$, возведем его в квадрат, используя формулу квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$:

$X^2 = (\text{tg }\alpha - \text{ctg }\alpha)^2 = \text{tg}^2\alpha - 2 \cdot \text{tg }\alpha \cdot \text{ctg }\alpha + \text{ctg}^2\alpha$

Сгруппируем члены и подставим известные значения: $\text{tg}^2\alpha + \text{ctg}^2\alpha = 8$ (из пункта а)) и $\text{tg }\alpha \cdot \text{ctg }\alpha = 1$.

$X^2 = (\text{tg}^2\alpha + \text{ctg}^2\alpha) - 2 = 8 - 2 = 6$

Из этого следует, что $X = \sqrt{6}$ или $X = -\sqrt{6}$.

Чтобы выбрать правильный знак, обратимся к условию $\text{tg }\alpha < \text{ctg }\alpha$. Это неравенство означает, что из меньшего числа ($\text{tg }\alpha$) вычитается большее число ($\text{ctg }\alpha$). Результат такого вычитания всегда отрицателен.

Следовательно, мы должны выбрать отрицательное значение для $X$.

$\text{tg }\alpha - \text{ctg }\alpha = -\sqrt{6}$.

Ответ: $-\sqrt{6}$