Номер 657, страница 188 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

24. Основные тригонометрические тождества. IV. Тригонометрия - номер 657, страница 188.

Условие.

657. Исследуйте, при каких значениях $n \in N$ верно неравенство $\sin^{2n}\alpha + \cos^{2n}\alpha < 1$, где $\alpha$ - острый угол.

Решение.

Решение 2 (rus).

Проанализируем неравенство $\sin^{2n}\alpha + \cos^{2n}\alpha < 1$ при заданных условиях: $n \in \mathbb{N}$ и $\alpha$ — острый угол.

Условие, что $\alpha$ — острый угол, означает, что $0 < \alpha < \frac{\pi}{2}$. Для таких углов значения синуса и косинуса находятся в интервале $(0, 1)$: $0 < \sin\alpha < 1$ и $0 < \cos\alpha < 1$.

Следовательно, их квадраты также строго больше нуля и строго меньше единицы: $0 < \sin^2\alpha < 1$ и $0 < \cos^2\alpha < 1$.

Рассмотрим два случая для натурального числа $n$.

Случай 1: $n = 1$
Подставим $n=1$ в исходное неравенство: $\sin^{2 \cdot 1}\alpha + \cos^{2 \cdot 1}\alpha < 1$, что равносильно $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha < 1$.
Согласно основному тригонометрическому тождеству, $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$ для любого угла $\alpha$. Таким образом, неравенство принимает вид $1 < 1$, что является ложным. Следовательно, $n=1$ не является решением.

Случай 2: $n > 1$
Пусть $n$ — натуральное число, большее 1, то есть $n \ge 2$.
Для любого числа $x$, такого что $0 < x < 1$, и для любого показателя степени $k > 1$ справедливо неравенство $x^k < x$.
Поскольку $0 < \sin^2\alpha < 1$ и $n > 1$, мы можем утверждать, что $(\sin^2\alpha)^n < \sin^2\alpha$, то есть $\sin^{2n}\alpha < \sin^2\alpha$.
Аналогично, так как $0 < \cos^2\alpha < 1$ и $n > 1$, имеем $(\cos^2\alpha)^n < \cos^2\alpha$, то есть $\cos^{2n}\alpha < \cos^2\alpha$.
Сложим эти два верных строгих неравенства:
$\sin^{2n}\alpha + \cos^{2n}\alpha < \sin^2\alpha + \cos^2\alpha$
Так как правая часть полученного неравенства равна 1, получаем:
$\sin^{2n}\alpha + \cos^{2n}\alpha < 1$
Это неравенство верно для всех натуральных $n \ge 2$ при условии, что $\alpha$ — острый угол.

Таким образом, исходное неравенство выполняется для всех натуральных чисел $n$, кроме $n=1$.

Ответ: $n \in \mathbb{N}, n \ge 2$.