Вопросы, страница 191 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

25. Формулы приведения. IV. Тригонометрия - страница 191.

Условие.

1. Запишите формулы приведения для углов $\frac{\pi}{2} - \alpha$ и $\pi - \alpha$ и докажите какие-либо две из них.

2. По какому правилу можно записать любую из формул приведения? Приведите пример.

Решение.

Решение 2 (rus).

1. Формулы приведения — это формулы, позволяющие выразить тригонометрические функции углов вида $\frac{\pi n}{2} \pm \alpha$ через функции угла $\alpha$.

Формулы для угла $\frac{\pi}{2} - \alpha$:
$\sin(\frac{\pi}{2} - \alpha) = \cos \alpha$
$\cos(\frac{\pi}{2} - \alpha) = \sin \alpha$
$\tan(\frac{\pi}{2} - \alpha) = \cot \alpha$
$\cot(\frac{\pi}{2} - \alpha) = \tan \alpha$

Формулы для угла $\pi - \alpha$:
$\sin(\pi - \alpha) = \sin \alpha$
$\cos(\pi - \alpha) = -\cos \alpha$
$\tan(\pi - \alpha) = -\tan \alpha$
$\cot(\pi - \alpha) = -\cot \alpha$

Доказательство двух формул:

а) Докажем формулу $\cos(\frac{\pi}{2} - \alpha) = \sin \alpha$
Для доказательства воспользуемся формулой косинуса разности: $\cos(x - y) = \cos x \cos y + \sin x \sin y$.
Пусть $x = \frac{\pi}{2}$ и $y = \alpha$. Подставим эти значения в формулу:
$\cos(\frac{\pi}{2} - \alpha) = \cos(\frac{\pi}{2}) \cos \alpha + \sin(\frac{\pi}{2}) \sin \alpha$.
Известно, что $\cos(\frac{\pi}{2}) = 0$ и $\sin(\frac{\pi}{2}) = 1$.
Следовательно, $\cos(\frac{\pi}{2} - \alpha) = 0 \cdot \cos \alpha + 1 \cdot \sin \alpha = \sin \alpha$.
Что и требовалось доказать.

б) Докажем формулу $\cos(\pi - \alpha) = -\cos \alpha$
Для доказательства воспользуемся формулой косинуса разности: $\cos(x - y) = \cos x \cos y + \sin x \sin y$.
Пусть $x = \pi$ и $y = \alpha$. Подставим эти значения в формулу:
$\cos(\pi - \alpha) = \cos \pi \cos \alpha + \sin \pi \sin \alpha$.
Известно, что $\cos \pi = -1$ и $\sin \pi = 0$.
Следовательно, $\cos(\pi - \alpha) = (-1) \cdot \cos \alpha + 0 \cdot \sin \alpha = -\cos \alpha$.
Что и требовалось доказать.

Ответ: Формулы приведения для углов $\frac{\pi}{2} - \alpha$ и $\pi - \alpha$ записаны выше, и для двух из них ($\cos(\frac{\pi}{2} - \alpha) = \sin \alpha$ и $\cos(\pi - \alpha) = -\cos \alpha$) приведено доказательство.

2. Чтобы записать любую из формул приведения, можно использовать простое мнемоническое правило, которое состоит из двух шагов:

Шаг 1: Определение знака.
Знак в правой части формулы определяется по знаку исходной функции в той координатной четверти, в которой находится угол (если считать угол $\alpha$ острым, т.е. $0 < \alpha < \frac{\pi}{2}$).

Шаг 2: Определение функции.

• Если в аргументе исходной функции содержатся углы $\pi$ или $2\pi$ (точки на горизонтальной оси единичной окружности), то название функции не меняется.
• Если в аргументе содержатся углы $\frac{\pi}{2}$ или $\frac{3\pi}{2}$ (точки на вертикальной оси единичной окружности), то название функции меняется на кофункцию (синус на косинус, косинус на синус, тангенс на котангенс, котангенс на тангенс).

Пример: Упростим выражение $\tan(\frac{3\pi}{2} - \alpha)$.
1. Определяем знак. Считаем $\alpha$ острым углом. Угол $\frac{3\pi}{2} - \alpha$ находится в III координатной четверти. Тангенс в III четверти имеет знак «+». Следовательно, итоговое выражение будет со знаком «+».
2. Определяем функцию. В аргументе стоит угол $\frac{3\pi}{2}$, который находится на вертикальной оси. Значит, функция «тангенс» меняется на кофункцию «котангенс».
Объединяя результаты, получаем: $\tan(\frac{3\pi}{2} - \alpha) = \cot \alpha$.

Ответ: Правило для записи формул приведения: 1) определяется знак итогового выражения по знаку исходной функции в соответствующей четверти; 2) определяется, меняется ли функция на кофункцию (меняется для углов $\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}$, не меняется для $\pi, 2\pi$). Пример: $\tan(\frac{3\pi}{2} - \alpha) = \cot \alpha$.