Номер 655, страница 188 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

24. Основные тригонометрические тождества. IV. Тригонометрия - номер 655, страница 188.

Условие.

655. Найдите значение выражения $\sin^4\alpha + \cos^4\alpha$, если $\sin \alpha + \cos \alpha = 0,5$.

Решение.

Решение 2 (rus).

Для нахождения значения выражения $\sin^4\alpha + \cos^4\alpha$, воспользуемся известным нам значением $\sin\alpha + \cos\alpha = 0,5$. Для начала возведем обе части этого равенства в квадрат:

$(\sin\alpha + \cos\alpha)^2 = (0,5)^2$

Раскроем скобки, используя формулу квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$:

$\sin^2\alpha + 2\sin\alpha\cos\alpha + \cos^2\alpha = 0,25$

Теперь сгруппируем слагаемые и применим основное тригонометрическое тождество $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$:

$(\sin^2\alpha + \cos^2\alpha) + 2\sin\alpha\cos\alpha = 0,25$

$1 + 2\sin\alpha\cos\alpha = 0,25$

Отсюда мы можем найти значение произведения $2\sin\alpha\cos\alpha$:

$2\sin\alpha\cos\alpha = 0,25 - 1 = -0,75$

Теперь преобразуем искомое выражение $\sin^4\alpha + \cos^4\alpha$. Мы можем представить его как сумму квадратов и дополнить до полного квадрата суммы:

$\sin^4\alpha + \cos^4\alpha = (\sin^2\alpha)^2 + (\cos^2\alpha)^2 = (\sin^2\alpha)^2 + 2\sin^2\alpha\cos^2\alpha + (\cos^2\alpha)^2 - 2\sin^2\alpha\cos^2\alpha$

Сворачиваем первые три слагаемых в полный квадрат:

$\sin^4\alpha + \cos^4\alpha = (\sin^2\alpha + \cos^2\alpha)^2 - 2\sin^2\alpha\cos^2\alpha$

Снова используем основное тригонометрическое тождество $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$ и переписываем выражение:

$\sin^4\alpha + \cos^4\alpha = 1^2 - 2(\sin\alpha\cos\alpha)^2 = 1 - 2(\sin\alpha\cos\alpha)^2$

Нам известно, что $2\sin\alpha\cos\alpha = -0,75$. Возведем это равенство в квадрат:

$(2\sin\alpha\cos\alpha)^2 = (-0,75)^2$

$4\sin^2\alpha\cos^2\alpha = 0,5625$

Отсюда $2\sin^2\alpha\cos^2\alpha = \frac{0,5625}{2} = 0,28125$.

Подставим это значение в наше преобразованное выражение:

$\sin^4\alpha + \cos^4\alpha = 1 - 2(\sin\alpha\cos\alpha)^2 = 1 - 0,28125 = 0,71875$.

Можно также провести вычисления в обыкновенных дробях для большей точности.$0,5 = \frac{1}{2}$; $0,25 = \frac{1}{4}$; $-0,75 = -\frac{3}{4}$.$1 + 2\sin\alpha\cos\alpha = \frac{1}{4} \implies 2\sin\alpha\cos\alpha = -\frac{3}{4}$.Тогда $\sin\alpha\cos\alpha = -\frac{3}{8}$.Подставим в формулу $\sin^4\alpha + \cos^4\alpha = 1 - 2(\sin\alpha\cos\alpha)^2$:

$\sin^4\alpha + \cos^4\alpha = 1 - 2(-\frac{3}{8})^2 = 1 - 2(\frac{9}{64}) = 1 - \frac{18}{64} = 1 - \frac{9}{32} = \frac{32}{32} - \frac{9}{32} = \frac{23}{32}$.

Значение $\frac{23}{32}$ равно $0,71875$.

Ответ: $\frac{23}{32}$