Номер 648, страница 187 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

24. Основные тригонометрические тождества. IV. Тригонометрия - номер 648, страница 187.

Условие.

648. Найдите значения остальных тригонометрических функций,

если известно, что:

а) $ \sin \alpha = \frac{c}{\sqrt{1+c^2}} $, где $ 0 < \alpha < \frac{\pi}{2} $;

б) $ \text{tg} \beta = \frac{1}{m} $, где $ \pi < \beta < \frac{3\pi}{2} $;

в) $ \cos \alpha = \frac{\sqrt{a^2 - b^2}}{a} $, где $ \frac{3\pi}{2} < \alpha < 2\pi $;

г) $ \text{ctg} \beta = -\frac{1}{n} $, где $ \frac{\pi}{2} < \beta < \pi $.

Решение.

Решение 2 (rus).

а) Дано: $sin \alpha = \frac{c}{\sqrt{1+c^2}}$, где $0 < \alpha < \frac{\pi}{2}$. Это означает, что угол $\alpha$ находится в первой четверти, где все тригонометрические функции положительны. Из условия $sin \alpha > 0$ следует, что $c>0$.

1. Найдем $cos \alpha$ из основного тригонометрического тождества $sin^2 \alpha + cos^2 \alpha = 1$.
$cos^2 \alpha = 1 - sin^2 \alpha = 1 - \left(\frac{c}{\sqrt{1+c^2}}\right)^2 = 1 - \frac{c^2}{1+c^2} = \frac{1+c^2 - c^2}{1+c^2} = \frac{1}{1+c^2}$.
Так как угол $\alpha$ в первой четверти, $cos \alpha > 0$, поэтому $cos \alpha = \sqrt{\frac{1}{1+c^2}} = \frac{1}{\sqrt{1+c^2}}$.

2. Найдем $tg \alpha$, используя определение $tg \alpha = \frac{sin \alpha}{cos \alpha}$.
$tg \alpha = \frac{\frac{c}{\sqrt{1+c^2}}}{\frac{1}{\sqrt{1+c^2}}} = c$.

3. Найдем $ctg \alpha$, используя определение $ctg \alpha = \frac{1}{tg \alpha}$.
$ctg \alpha = \frac{1}{c}$.

Ответ: $cos \alpha = \frac{1}{\sqrt{1+c^2}}$, $tg \alpha = c$, $ctg \alpha = \frac{1}{c}$.

б) Дано: $tg \beta = \frac{1}{m}$, где $\pi < \beta < \frac{3\pi}{2}$. Это означает, что угол $\beta$ находится в третьей четверти. В этой четверти синус и косинус отрицательны, а тангенс и котангенс положительны. Из условия $tg \beta > 0$ следует, что $m > 0$.

1. Найдем $ctg \beta$ из соотношения $ctg \beta = \frac{1}{tg \beta}$.
$ctg \beta = \frac{1}{1/m} = m$.

2. Найдем $cos \beta$, используя тождество $1 + tg^2 \beta = \frac{1}{cos^2 \beta}$.
$cos^2 \beta = \frac{1}{1+tg^2 \beta} = \frac{1}{1+(\frac{1}{m})^2} = \frac{1}{1+\frac{1}{m^2}} = \frac{1}{\frac{m^2+1}{m^2}} = \frac{m^2}{m^2+1}$.
Так как угол $\beta$ в третьей четверти, $cos \beta < 0$, поэтому $cos \beta = -\sqrt{\frac{m^2}{m^2+1}} = -\frac{m}{\sqrt{m^2+1}}$ (поскольку $m > 0$).

3. Найдем $sin \beta$ из соотношения $sin \beta = tg \beta \cdot cos \beta$.
$sin \beta = \frac{1}{m} \cdot \left(-\frac{m}{\sqrt{m^2+1}}\right) = -\frac{1}{\sqrt{m^2+1}}$.

Ответ: $sin \beta = -\frac{1}{\sqrt{m^2+1}}$, $cos \beta = -\frac{m}{\sqrt{m^2+1}}$, $ctg \beta = m$.

в) Дано: $cos \alpha = \frac{\sqrt{a^2-b^2}}{a}$, где $\frac{3\pi}{2} < \alpha < 2\pi$. Это означает, что угол $\alpha$ находится в четвертой четверти. Здесь $sin \alpha < 0$, $cos \alpha > 0$, $tg \alpha < 0$, $ctg \alpha < 0$.Для существования корня необходимо $a^2-b^2 \ge 0$. Из $cos \alpha > 0$ следует, что $a > 0$. Если $a^2=b^2$, то $cos \alpha = 0$, что не входит в интервал. Следовательно, $a^2 > b^2$, то есть $a > |b|$.

1. Найдем $sin \alpha$ из тождества $sin^2 \alpha + cos^2 \alpha = 1$.
$sin^2 \alpha = 1 - cos^2 \alpha = 1 - \left(\frac{\sqrt{a^2-b^2}}{a}\right)^2 = 1 - \frac{a^2-b^2}{a^2} = \frac{a^2 - (a^2-b^2)}{a^2} = \frac{b^2}{a^2}$.
Так как угол $\alpha$ в четвертой четверти, $sin \alpha < 0$, поэтому $sin \alpha = -\sqrt{\frac{b^2}{a^2}} = -\frac{|b|}{a}$ (поскольку $a > 0$).

2. Найдем $tg \alpha$ по формуле $tg \alpha = \frac{sin \alpha}{cos \alpha}$.
$tg \alpha = \frac{-\frac{|b|}{a}}{\frac{\sqrt{a^2-b^2}}{a}} = -\frac{|b|}{\sqrt{a^2-b^2}}$. (требуется $b \ne 0$)

3. Найдем $ctg \alpha$ по формуле $ctg \alpha = \frac{1}{tg \alpha}$.
$ctg \alpha = -\frac{\sqrt{a^2-b^2}}{|b|}$. (требуется $b \ne 0$)

Ответ: $sin \alpha = -\frac{|b|}{a}$, $tg \alpha = -\frac{|b|}{\sqrt{a^2-b^2}}$, $ctg \alpha = -\frac{\sqrt{a^2-b^2}}{|b|}$.

г) Дано: $ctg \beta = -\frac{1}{n}$, где $\frac{\pi}{2} < \beta < \pi$. Это означает, что угол $\beta$ находится во второй четверти. Здесь $sin \beta > 0$, $cos \beta < 0$, $tg \beta < 0$, $ctg \beta < 0$. Из отрицательности котангенса следует, что $n > 0$.

1. Найдем $tg \beta$ из соотношения $tg \beta = \frac{1}{ctg \beta}$.
$tg \beta = \frac{1}{-1/n} = -n$.

2. Найдем $sin \beta$, используя тождество $1 + ctg^2 \beta = \frac{1}{sin^2 \beta}$.
$sin^2 \beta = \frac{1}{1+ctg^2 \beta} = \frac{1}{1+(-\frac{1}{n})^2} = \frac{1}{1+\frac{1}{n^2}} = \frac{n^2}{n^2+1}$.
Так как угол $\beta$ во второй четверти, $sin \beta > 0$, поэтому $sin \beta = \sqrt{\frac{n^2}{n^2+1}} = \frac{n}{\sqrt{n^2+1}}$ (поскольку $n > 0$).

3. Найдем $cos \beta$ из соотношения $cos \beta = ctg \beta \cdot sin \beta$.
$cos \beta = \left(-\frac{1}{n}\right) \cdot \left(\frac{n}{\sqrt{n^2+1}}\right) = -\frac{1}{\sqrt{n^2+1}}$.

Ответ: $sin \beta = \frac{n}{\sqrt{n^2+1}}$, $cos \beta = -\frac{1}{\sqrt{n^2+1}}$, $tg \beta = -n$.