Номер 644, страница 187 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

24. Основные тригонометрические тождества. IV. Тригонометрия - номер 644, страница 187.

Условие.

644. Постройте график функции:

а) $y=\sin^2x + \cos^2x$;

б) $y=-(\sin x + \cos x)^2 - (\sin x - \cos x)^2$.

Решение.

Решение 2 (rus).

а) Рассмотрим функцию $y = \sin^2x + \cos^2x$.
Согласно основному тригонометрическому тождеству, для любого действительного значения $x$ выполняется равенство $\sin^2x + \cos^2x = 1$.
Таким образом, исходная функция тождественно равна $y=1$.
Графиком этой функции является прямая линия, параллельная оси абсцисс (оси $Ox$) и проходящая через точку $(0; 1)$.

Ответ: График функции $y = \sin^2x + \cos^2x$ — это прямая $y=1$.

б) Рассмотрим функцию $y = -(\sin x + \cos x)^2 - (\sin x - \cos x)^2$.
Упростим выражение. Для этого раскроем скобки, используя формулы квадрата суммы и квадрата разности: $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$ и $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$.
$(\sin x + \cos x)^2 = \sin^2x + 2\sin x \cos x + \cos^2x$.
$(\sin x - \cos x)^2 = \sin^2x - 2\sin x \cos x + \cos^2x$.
Используя основное тригонометрическое тождество $\sin^2x + \cos^2x = 1$, получим:
$\sin^2x + 2\sin x \cos x + \cos^2x = (\sin^2x + \cos^2x) + 2\sin x \cos x = 1 + 2\sin x \cos x$.
$\sin^2x - 2\sin x \cos x + \cos^2x = (\sin^2x + \cos^2x) - 2\sin x \cos x = 1 - 2\sin x \cos x$.
Подставим эти выражения в исходную функцию:
$y = -(1 + 2\sin x \cos x) - (1 - 2\sin x \cos x)$.
Раскроем скобки:
$y = -1 - 2\sin x \cos x - 1 + 2\sin x \cos x$.
Приведем подобные слагаемые:
$y = -2$.
Таким образом, исходная функция тождественно равна $y=-2$.
Графиком этой функции является прямая линия, параллельная оси абсцисс (оси $Ox$) и проходящая через точку $(0; -2)$.

Ответ: График функции $y = -(\sin x + \cos x)^2 - (\sin x - \cos x)^2$ — это прямая $y=-2$.