Номер 640, страница 186 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

24. Основные тригонометрические тождества. IV. Тригонометрия - номер 640, страница 186.

Условие.

Бассейн реки Иртыш

639. Найдите с точностью до 0,01 значение выражения:

а) $ \cos \alpha $, если $ \operatorname{tg} \alpha = 3 $ и $ \pi < \alpha < \frac{3\pi}{2} $;

б) $ \sin \alpha $, если $ \operatorname{ctg} \alpha = - \frac{1}{5} $ и $ \frac{\pi}{2} < \alpha < \pi $.

640. По территории Казахстана протекает одна из крупнейших рек Азии Иртыш, длина которой равна 4250 км. Какова протяженность этой реки на территории Казахстана, если отношение ее к длине всей реки равно тангенсу угла, котангенс которого равен 2,5?

Решение.

Решение 2 (rus).

639. a) Дано, что $tg \alpha = 3$ и $\pi < \alpha < \frac{3\pi}{2}$. Это означает, что угол $\alpha$ находится в третьей координатной четверти, где значения косинуса отрицательны.
Воспользуемся основным тригонометрическим тождеством, связывающим тангенс и косинус: $1 + tg^2\alpha = \frac{1}{cos^2\alpha}$.
Подставим в формулу известное значение $tg \alpha$:
$1 + 3^2 = \frac{1}{cos^2\alpha}$
$1 + 9 = \frac{1}{cos^2\alpha}$
$10 = \frac{1}{cos^2\alpha}$
Отсюда $cos^2\alpha = \frac{1}{10}$.
Тогда $cos\alpha = \pm\sqrt{\frac{1}{10}} = \pm\frac{1}{\sqrt{10}}$.
Поскольку угол $\alpha$ лежит в третьей четверти, его косинус отрицателен. Следовательно, выбираем знак "минус":
$cos\alpha = -\frac{1}{\sqrt{10}}$.
Для нахождения значения с точностью до 0,01, вычислим приближенное значение дроби:
$cos\alpha \approx -\frac{1}{3,16227...} \approx -0,3162...$
Округляя до сотых, получаем -0,32.
Ответ: -0,32

б) Дано, что $ctg \alpha = -\frac{1}{5}$ и $\frac{\pi}{2} < \alpha < \pi$. Это означает, что угол $\alpha$ находится во второй координатной четверти, где значения синуса положительны.
Воспользуемся основным тригонометрическим тождеством, связывающим котангенс и синус: $1 + ctg^2\alpha = \frac{1}{sin^2\alpha}$.
Подставим в формулу известное значение $ctg \alpha$:
$1 + (-\frac{1}{5})^2 = \frac{1}{sin^2\alpha}$
$1 + \frac{1}{25} = \frac{1}{sin^2\alpha}$
$\frac{25}{25} + \frac{1}{25} = \frac{1}{sin^2\alpha}$
$\frac{26}{25} = \frac{1}{sin^2\alpha}$
Отсюда $sin^2\alpha = \frac{25}{26}$.
Тогда $sin\alpha = \pm\sqrt{\frac{25}{26}} = \pm\frac{5}{\sqrt{26}}$.
Поскольку угол $\alpha$ лежит во второй четверти, его синус положителен. Следовательно, выбираем знак "плюс":
$sin\alpha = \frac{5}{\sqrt{26}}$.
Для нахождения значения с точностью до 0,01, вычислим приближенное значение дроби:
$sin\alpha \approx \frac{5}{5,0990...} \approx 0,9805...$
Округляя до сотых, получаем 0,98.
Ответ: 0,98

640. Пусть $L_{общ}$ - общая длина реки Иртыш, которая по условию равна 4250 км.
Пусть $L_{Каз}$ - протяженность реки на территории Казахстана.
Согласно условию, отношение протяженности реки в Казахстане к ее общей длине равно тангенсу некоторого угла, назовем его $\beta$.
$\frac{L_{Каз}}{L_{общ}} = tg \beta$
Также из условия известно, что котангенс этого угла равен 2,5:
$ctg \beta = 2,5$.
Тангенс и котангенс связаны соотношением: $tg \beta = \frac{1}{ctg \beta}$.
Найдем значение тангенса:
$tg \beta = \frac{1}{2,5} = \frac{1}{5/2} = \frac{2}{5} = 0,4$.
Теперь мы можем найти протяженность реки на территории Казахстана:
$L_{Каз} = L_{общ} \cdot tg \beta = 4250 \cdot 0,4$.
$L_{Каз} = 1700$ км.
Ответ: 1700 км