Номер 635, страница 185 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

24. Основные тригонометрические тождества. IV. Тригонометрия - номер 635, страница 185.

Условие.

635. Упростите выражение:

а) $\frac{\sin^2 \alpha}{1 - \cos \alpha}$

б) $\frac{\cos^2 \alpha}{\sin \alpha + 1}$

в) $\frac{1 - 2\sin^2 \alpha}{\cos \alpha + \sin \alpha}$

г) $\frac{\sin \alpha - \cos \alpha}{1 - 2\cos^2 \alpha}$

д) $\frac{\cos \alpha}{1 - \sin \alpha} - \frac{\cos \alpha}{1 + \sin \alpha}$

е) $\frac{\sin^2 \alpha - \operatorname{tg}^2 \alpha}{\cos^2 \alpha - \operatorname{ctg}^2 \alpha}$

Решение.

Решение 2 (rus).

а) Для упрощения выражения $\frac{\sin^2 \alpha}{1 - \cos \alpha}$ воспользуемся основным тригонометрическим тождеством $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$, из которого $\sin^2 \alpha = 1 - \cos^2 \alpha$.
Подставим это в числитель: $\frac{1 - \cos^2 \alpha}{1 - \cos \alpha}$
Применим формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$ к числителю: $\frac{(1 - \cos \alpha)(1 + \cos \alpha)}{1 - \cos \alpha}$
Сократим дробь на общий множитель $(1 - \cos \alpha)$: $1 + \cos \alpha$
Ответ: $1 + \cos \alpha$

б) Для упрощения выражения $\frac{\cos^2 \alpha}{\sin \alpha + 1}$ воспользуемся основным тригонометрическим тождеством $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$, из которого $\cos^2 \alpha = 1 - \sin^2 \alpha$.
Подставим это в числитель: $\frac{1 - \sin^2 \alpha}{1 + \sin \alpha}$
Применим формулу разности квадратов к числителю: $\frac{(1 - \sin \alpha)(1 + \sin \alpha)}{1 + \sin \alpha}$
Сократим дробь на общий множитель $(1 + \sin \alpha)$: $1 - \sin \alpha$
Ответ: $1 - \sin \alpha$

в) Для упрощения выражения $\frac{1 - 2\sin^2 \alpha}{\cos \alpha + \sin \alpha}$ преобразуем числитель. Используем основное тригонометрическое тождество, представив $1 = \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha$:
$1 - 2\sin^2 \alpha = (\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha) - 2\sin^2 \alpha = \cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha$
Теперь выражение выглядит так: $\frac{\cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha}{\cos \alpha + \sin \alpha}$
Применим формулу разности квадратов к числителю: $\frac{(\cos \alpha - \sin \alpha)(\cos \alpha + \sin \alpha)}{\cos \alpha + \sin \alpha}$
Сократим дробь на общий множитель $(\cos \alpha + \sin \alpha)$: $\cos \alpha - \sin \alpha$
Ответ: $\cos \alpha - \sin \alpha$

г) Для упрощения выражения $\frac{\sin \alpha - \cos \alpha}{1 - 2\cos^2 \alpha}$ преобразуем знаменатель, используя $1 = \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha$:
$1 - 2\cos^2 \alpha = (\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha) - 2\cos^2 \alpha = \sin^2 \alpha - \cos^2 \alpha$
Теперь выражение выглядит так: $\frac{\sin \alpha - \cos \alpha}{\sin^2 \alpha - \cos^2 \alpha}$
Применим формулу разности квадратов к знаменателю: $\frac{\sin \alpha - \cos \alpha}{(\sin \alpha - \cos \alpha)(\sin \alpha + \cos \alpha)}$
Сократим дробь на общий множитель $(\sin \alpha - \cos \alpha)$: $\frac{1}{\sin \alpha + \cos \alpha}$
Ответ: $\frac{1}{\sin \alpha + \cos \alpha}$

д) Для упрощения выражения $\frac{\cos \alpha}{1 - \sin \alpha} - \frac{\cos \alpha}{1 + \sin \alpha}$ приведем дроби к общему знаменателю $(1 - \sin \alpha)(1 + \sin \alpha)$:
$\frac{\cos \alpha(1 + \sin \alpha) - \cos \alpha(1 - \sin \alpha)}{(1 - \sin \alpha)(1 + \sin \alpha)}$
Раскроем скобки в числителе: $\frac{\cos \alpha + \cos \alpha \sin \alpha - \cos \alpha + \cos \alpha \sin \alpha}{1 - \sin^2 \alpha}$
Упростим числитель и применим основное тригонометрическое тождество к знаменателю ($1 - \sin^2 \alpha = \cos^2 \alpha$): $\frac{2\sin \alpha \cos \alpha}{\cos^2 \alpha}$
Сократим дробь на $\cos \alpha$: $\frac{2\sin \alpha}{\cos \alpha}$
Используя определение тангенса $\tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}$, получаем: $2\tan \alpha$
Ответ: $2\tan \alpha$

е) Для упрощения выражения $\frac{\sin^2 \alpha - \tan^2 \alpha}{\cos^2 \alpha - \cot^2 \alpha}$ заменим тангенс и котангенс через синус и косинус: $\tan^2 \alpha = \frac{\sin^2 \alpha}{\cos^2 \alpha}$ и $\cot^2 \alpha = \frac{\cos^2 \alpha}{\sin^2 \alpha}$.
$\frac{\sin^2 \alpha - \frac{\sin^2 \alpha}{\cos^2 \alpha}}{\cos^2 \alpha - \frac{\cos^2 \alpha}{\sin^2 \alpha}}$
Вынесем общие множители в числителе и знаменателе: $\frac{\sin^2 \alpha (1 - \frac{1}{\cos^2 \alpha})}{\cos^2 \alpha (1 - \frac{1}{\sin^2 \alpha})}$
Приведем к общему знаменателю выражения в скобках: $\frac{\sin^2 \alpha (\frac{\cos^2 \alpha - 1}{\cos^2 \alpha})}{\cos^2 \alpha (\frac{\sin^2 \alpha - 1}{\sin^2 \alpha})}$
Из основного тождества $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$ следует, что $\cos^2 \alpha - 1 = -\sin^2 \alpha$ и $\sin^2 \alpha - 1 = -\cos^2 \alpha$. Подставим: $\frac{\sin^2 \alpha (\frac{-\sin^2 \alpha}{\cos^2 \alpha})}{\cos^2 \alpha (\frac{-\cos^2 \alpha}{\sin^2 \alpha})} = \frac{-\frac{\sin^4 \alpha}{\cos^2 \alpha}}{-\frac{\cos^4 \alpha}{\sin^2 \alpha}}$
Упростим "четырехэтажную" дробь, умножив числитель на перевернутый знаменатель: $\frac{\sin^4 \alpha}{\cos^2 \alpha} \cdot \frac{\sin^2 \alpha}{\cos^4 \alpha} = \frac{\sin^6 \alpha}{\cos^6 \alpha}$
Используя определение тангенса, получаем: $\tan^6 \alpha$
Ответ: $\tan^6 \alpha$