Номер 637, страница 185 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

Авторы: Солтан Г. Н., Солтан А. Е., Жумадилова А. Ж.
Тип: Учебник
Издательство: Кокшетау
Год издания: 2019 - 2025
Цвет обложки:
ISBN: 978-601-317-424-2
Рекомендовано Министерством образования и науки Республики Казахстан
Популярные ГДЗ в 9 классе
24. Основные тригонометрические тождества. IV. Тригонометрия - номер 637, страница 185.
№637 (с. 185)
Условие. №637 (с. 185)
скриншот условия

637. Докажите тождество:
а) $cos^4 \alpha - sin^4 \alpha = cos^2 \alpha - sin^2 \alpha;$
б) $(cos \alpha \cdot tg \alpha)^2 + (sin \alpha \cdot ctg \alpha)^2 = 1;$
в) $sin^4 \alpha + sin^2 \alpha \cdot cos^2 \alpha = 1 - cos^2 \alpha;$
г) $ctg^2 \alpha - tg^2 \alpha = \frac{1}{sin^2 \alpha} - \frac{1}{cos^2 \alpha}.$
Решение. №637 (с. 185)

Решение 2 (rus). №637 (с. 185)
а) Преобразуем левую часть тождества, используя формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$.
$cos^4\alpha - sin^4\alpha = (cos^2\alpha)^2 - (sin^2\alpha)^2 = (cos^2\alpha - sin^2\alpha)(cos^2\alpha + sin^2\alpha)$.
Применим основное тригонометрическое тождество $sin^2\alpha + cos^2\alpha = 1$.
$(cos^2\alpha - sin^2\alpha)(cos^2\alpha + sin^2\alpha) = (cos^2\alpha - sin^2\alpha) \cdot 1 = cos^2\alpha - sin^2\alpha$.
Левая часть равна правой части: $cos^2\alpha - sin^2\alpha = cos^2\alpha - sin^2\alpha$. Тождество доказано.
Ответ: Тождество доказано.
б) Преобразуем левую часть тождества. Используем определения тангенса $tg\,\alpha = \frac{sin\,\alpha}{cos\,\alpha}$ и котангенса $ctg\,\alpha = \frac{cos\,\alpha}{sin\,\alpha}$.
$(cos\,\alpha \cdot tg\,\alpha)^2 + (sin\,\alpha \cdot ctg\,\alpha)^2 = (cos\,\alpha \cdot \frac{sin\,\alpha}{cos\,\alpha})^2 + (sin\,\alpha \cdot \frac{cos\,\alpha}{sin\,\alpha})^2$.
Сократим дроби, предполагая, что $cos\,\alpha \neq 0$ и $sin\,\alpha \neq 0$:
$(sin\,\alpha)^2 + (cos\,\alpha)^2 = sin^2\alpha + cos^2\alpha$.
Согласно основному тригонометрическому тождеству $sin^2\alpha + cos^2\alpha = 1$.
Получаем $1 = 1$. Тождество доказано.
Ответ: Тождество доказано.
в) Преобразуем левую часть тождества. Вынесем общий множитель $sin^2\alpha$ за скобки:
$sin^4\alpha + sin^2\alpha \cdot cos^2\alpha = sin^2\alpha(sin^2\alpha + cos^2\alpha)$.
Используя основное тригонометрическое тождество $sin^2\alpha + cos^2\alpha = 1$, получаем:
$sin^2\alpha \cdot 1 = sin^2\alpha$.
Также из основного тригонометрического тождества следует, что $sin^2\alpha = 1 - cos^2\alpha$.
Таким образом, мы преобразовали левую часть к виду правой части. Тождество доказано.
Ответ: Тождество доказано.
г) Преобразуем левую часть тождества. Используем тригонометрические тождества $1 + ctg^2\alpha = \frac{1}{sin^2\alpha}$ и $1 + tg^2\alpha = \frac{1}{cos^2\alpha}$.
Из этих тождеств выразим $ctg^2\alpha = \frac{1}{sin^2\alpha} - 1$ и $tg^2\alpha = \frac{1}{cos^2\alpha} - 1$.
Подставим эти выражения в левую часть:
$ctg^2\alpha - tg^2\alpha = (\frac{1}{sin^2\alpha} - 1) - (\frac{1}{cos^2\alpha} - 1) = \frac{1}{sin^2\alpha} - 1 - \frac{1}{cos^2\alpha} + 1 = \frac{1}{sin^2\alpha} - \frac{1}{cos^2\alpha}$.
Левая часть равна правой части: $\frac{1}{sin^2\alpha} - \frac{1}{cos^2\alpha} = \frac{1}{sin^2\alpha} - \frac{1}{cos^2\alpha}$. Тождество доказано.
Ответ: Тождество доказано.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 9 класс, для упражнения номер 637 расположенного на странице 185 к учебнику 2019 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №637 (с. 185), авторов: Солтан (Генадий Николаевич), Солтан (Алла Евгеньевна), Жумадилова (Аманбала Жумадиловна), учебного пособия издательства Кокшетау.