Номер 637, страница 185 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

24. Основные тригонометрические тождества. IV. Тригонометрия - номер 637, страница 185.

Условие.

637. Докажите тождество:

а) $cos^4 \alpha - sin^4 \alpha = cos^2 \alpha - sin^2 \alpha;$

б) $(cos \alpha \cdot tg \alpha)^2 + (sin \alpha \cdot ctg \alpha)^2 = 1;$

в) $sin^4 \alpha + sin^2 \alpha \cdot cos^2 \alpha = 1 - cos^2 \alpha;$

г) $ctg^2 \alpha - tg^2 \alpha = \frac{1}{sin^2 \alpha} - \frac{1}{cos^2 \alpha}.$

Решение.

Решение 2 (rus).

а) Преобразуем левую часть тождества, используя формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$.
$cos^4\alpha - sin^4\alpha = (cos^2\alpha)^2 - (sin^2\alpha)^2 = (cos^2\alpha - sin^2\alpha)(cos^2\alpha + sin^2\alpha)$.
Применим основное тригонометрическое тождество $sin^2\alpha + cos^2\alpha = 1$.
$(cos^2\alpha - sin^2\alpha)(cos^2\alpha + sin^2\alpha) = (cos^2\alpha - sin^2\alpha) \cdot 1 = cos^2\alpha - sin^2\alpha$.
Левая часть равна правой части: $cos^2\alpha - sin^2\alpha = cos^2\alpha - sin^2\alpha$. Тождество доказано.
Ответ: Тождество доказано.

б) Преобразуем левую часть тождества. Используем определения тангенса $tg\,\alpha = \frac{sin\,\alpha}{cos\,\alpha}$ и котангенса $ctg\,\alpha = \frac{cos\,\alpha}{sin\,\alpha}$.
$(cos\,\alpha \cdot tg\,\alpha)^2 + (sin\,\alpha \cdot ctg\,\alpha)^2 = (cos\,\alpha \cdot \frac{sin\,\alpha}{cos\,\alpha})^2 + (sin\,\alpha \cdot \frac{cos\,\alpha}{sin\,\alpha})^2$.
Сократим дроби, предполагая, что $cos\,\alpha \neq 0$ и $sin\,\alpha \neq 0$:
$(sin\,\alpha)^2 + (cos\,\alpha)^2 = sin^2\alpha + cos^2\alpha$.
Согласно основному тригонометрическому тождеству $sin^2\alpha + cos^2\alpha = 1$.
Получаем $1 = 1$. Тождество доказано.
Ответ: Тождество доказано.

в) Преобразуем левую часть тождества. Вынесем общий множитель $sin^2\alpha$ за скобки:
$sin^4\alpha + sin^2\alpha \cdot cos^2\alpha = sin^2\alpha(sin^2\alpha + cos^2\alpha)$.
Используя основное тригонометрическое тождество $sin^2\alpha + cos^2\alpha = 1$, получаем:
$sin^2\alpha \cdot 1 = sin^2\alpha$.
Также из основного тригонометрического тождества следует, что $sin^2\alpha = 1 - cos^2\alpha$.
Таким образом, мы преобразовали левую часть к виду правой части. Тождество доказано.
Ответ: Тождество доказано.

г) Преобразуем левую часть тождества. Используем тригонометрические тождества $1 + ctg^2\alpha = \frac{1}{sin^2\alpha}$ и $1 + tg^2\alpha = \frac{1}{cos^2\alpha}$.
Из этих тождеств выразим $ctg^2\alpha = \frac{1}{sin^2\alpha} - 1$ и $tg^2\alpha = \frac{1}{cos^2\alpha} - 1$.
Подставим эти выражения в левую часть:
$ctg^2\alpha - tg^2\alpha = (\frac{1}{sin^2\alpha} - 1) - (\frac{1}{cos^2\alpha} - 1) = \frac{1}{sin^2\alpha} - 1 - \frac{1}{cos^2\alpha} + 1 = \frac{1}{sin^2\alpha} - \frac{1}{cos^2\alpha}$.
Левая часть равна правой части: $\frac{1}{sin^2\alpha} - \frac{1}{cos^2\alpha} = \frac{1}{sin^2\alpha} - \frac{1}{cos^2\alpha}$. Тождество доказано.
Ответ: Тождество доказано.