Номер 643, страница 187 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

24. Основные тригонометрические тождества. IV. Тригонометрия - номер 643, страница 187.

Условие.

643. Найдите значения x, удовлетворяющие равенству:

а) $ \sin^2 x + \cos^2 x - \operatorname{tg} x \cdot \operatorname{ctg} x + \sin 2x = 0 $

б) $ \operatorname{tg} x \cdot \operatorname{ctg} x - \sin^2 x - \cos^2 x + \cos \frac{1}{2} x = 0 $

в) $ \frac{1}{\cos^2 x} - \operatorname{tg}^2 x - \cos 2x = 2 $

г) $ \frac{1}{\sin^2 x} - \operatorname{ctg}^2 x + \sin \frac{1}{4} x = 2 $

Решение.

Решение 2 (rus).

а) $sin^2x + cos^2x - tg x \cdot ctg x + sin 2x = 0$

Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ) для данного уравнения. Функция $tg x$ определена, когда $cos x \ne 0$, то есть $x \ne \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k \in Z$. Функция $ctg x$ определена, когда $sin x \ne 0$, то есть $x \ne \pi n$, где $n \in Z$. Объединяя эти условия, получаем, что $sin x \cdot cos x \ne 0$, или $\frac{1}{2}sin 2x \ne 0$, что равносильно $x \ne \frac{\pi m}{2}$ для любого целого $m$.

Теперь упростим уравнение, используя основные тригонометрические тождества: $sin^2x + cos^2x = 1$ и $tg x \cdot ctg x = 1$ (которое верно для всех $x$ из ОДЗ).

Подставляем эти значения в исходное уравнение:

$1 - 1 + sin 2x = 0$

$sin 2x = 0$

Решаем полученное уравнение:

$2x = \pi m$, где $m \in Z$

$x = \frac{\pi m}{2}$, где $m \in Z$

Сравним полученные решения с ОДЗ. Мы видим, что найденные значения $x$ в точности совпадают со значениями, которые исключены из области допустимых значений ($x \ne \frac{\pi m}{2}$). Следовательно, уравнение не имеет решений.

Ответ: решений нет.

б) $tg x \cdot ctg x - sin^2x - cos^2x + cos\frac{1}{2}x = 0$

Область допустимых значений (ОДЗ) такая же, как и в предыдущем пункте, так как в уравнении присутствуют $tg x$ и $ctg x$. Таким образом, $x \ne \frac{\pi k}{2}$, где $k \in Z$.

Упростим уравнение, используя тождества $tg x \cdot ctg x = 1$ и $sin^2x + cos^2x = 1$.

$1 - (sin^2x + cos^2x) + cos\frac{1}{2}x = 0$

$1 - 1 + cos\frac{1}{2}x = 0$

$cos\frac{1}{2}x = 0$

Решаем полученное уравнение:

$\frac{x}{2} = \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n \in Z$

$x = \pi + 2\pi n = \pi(1 + 2n)$, где $n \in Z$

Проверим, удовлетворяют ли найденные решения ОДЗ ($x \ne \frac{\pi k}{2}$). Подставим наше решение в условие исключения:

$\pi(1 + 2n) = \frac{\pi k}{2}$

$2(1 + 2n) = k$

$k = 2 + 4n$

Поскольку для любого целого $n$ мы можем найти соответствующее целое $k$, это означает, что все найденные решения $x = \pi + 2\pi n$ не входят в область допустимых значений. Следовательно, у этого уравнения также нет решений.

Ответ: решений нет.

в) $\frac{1}{cos^2x} - tg^2x - cos2x = 2$

ОДЗ для этого уравнения определяется знаменателем $cos^2x$ и функцией $tg^2x$. В обоих случаях требуется, чтобы $cos x \ne 0$, то есть $x \ne \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k \in Z$.

Используем тригонометрическое тождество $\frac{1}{cos^2x} = 1 + tg^2x$. Подставим его в уравнение:

$(1 + tg^2x) - tg^2x - cos2x = 2$

$1 - cos2x = 2$

$cos2x = -1$

Решаем это уравнение:

$2x = \pi + 2\pi n$, где $n \in Z$

$x = \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n \in Z$

Сравнивая полученные решения с ОДЗ ($x \ne \frac{\pi}{2} + \pi k$), мы видим, что они в точности совпадают. Это означает, что ни одно из найденных значений $x$ не является допустимым. Уравнение не имеет решений.

Ответ: решений нет.

г) $\frac{1}{sin^2x} - ctg^2x + sin\frac{1}{4}x = 2$

ОДЗ уравнения определяется знаменателем $sin^2x$ и функцией $ctg^2x$. В обоих случаях требуется, чтобы $sin x \ne 0$, то есть $x \ne \pi k$, где $k \in Z$.

Используем тригонометрическое тождество $\frac{1}{sin^2x} = 1 + ctg^2x$. Подставляем его в уравнение:

$(1 + ctg^2x) - ctg^2x + sin\frac{1}{4}x = 2$

$1 + sin\frac{1}{4}x = 2$

$sin\frac{1}{4}x = 1$

Решаем это уравнение:

$\frac{x}{4} = \frac{\pi}{2} + 2\pi n$, где $n \in Z$

$x = 2\pi + 8\pi n = 2\pi(1 + 4n)$, где $n \in Z$

Теперь проверим, удовлетворяют ли эти решения ОДЗ ($x \ne \pi k$). Подставим наше решение в условие исключения:

$2\pi(1 + 4n) = \pi k$

$k = 2(1 + 4n) = 2 + 8n$

Так как для любого целого $n$ мы можем найти соответствующее целое $k$, все найденные решения $x = 2\pi + 8\pi n$ не входят в область допустимых значений. Следовательно, уравнение не имеет решений.

Ответ: решений нет.