Номер 646, страница 187 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

24. Основные тригонометрические тождества. IV. Тригонометрия - номер 646, страница 187.

Условие.

646. Докажите тождество:

а) $\sqrt{\frac{1}{1 + \cos \alpha} + \frac{1}{1 - \cos \alpha}} = \frac{\sqrt{2}}{\sin \alpha}$, где $0 < \alpha < \pi,$

б) $\sqrt{\frac{1 + \sin \alpha}{1 - \sin \alpha}} - \sqrt{\frac{1 - \sin \alpha}{1 + \sin \alpha}} = 2\text{tg } \alpha$, где $-\frac{\pi}{2} < \alpha < \frac{\pi}{2}$.

Решение.

Решение 2 (rus).

а)

Докажем тождество $ \sqrt{\frac{1}{1+\cos\alpha} + \frac{1}{1-\cos\alpha}} = \frac{\sqrt{2}}{\sin\alpha} $ для $ 0 < \alpha < \pi $.

Преобразуем левую часть равенства. Приведем дроби под корнем к общему знаменателю:

$ \sqrt{\frac{1}{1+\cos\alpha} + \frac{1}{1-\cos\alpha}} = \sqrt{\frac{(1-\cos\alpha) + (1+\cos\alpha)}{(1+\cos\alpha)(1-\cos\alpha)}} $

Упростим числитель и знаменатель полученной дроби. В числителе $ 1 - \cos\alpha + 1 + \cos\alpha = 2 $. В знаменателе используем формулу разности квадратов $ (a+b)(a-b) = a^2 - b^2 $, поэтому $ (1+\cos\alpha)(1-\cos\alpha) = 1 - \cos^2\alpha $.

Выражение примет вид:

$ \sqrt{\frac{2}{1-\cos^2\alpha}} $

Используя основное тригонометрическое тождество $ \sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1 $, заменим $ 1 - \cos^2\alpha $ на $ \sin^2\alpha $:

$ \sqrt{\frac{2}{\sin^2\alpha}} = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{\sin^2\alpha}} = \frac{\sqrt{2}}{|\sin\alpha|} $

По условию, угол $ \alpha $ находится в интервале $ 0 < \alpha < \pi $ (I и II четверти), где синус положителен, то есть $ \sin\alpha > 0 $. Следовательно, $ |\sin\alpha| = \sin\alpha $.

Таким образом, левая часть тождества равна:

$ \frac{\sqrt{2}}{\sin\alpha} $

Левая часть равна правой, тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.

б)

Докажем тождество $ \sqrt{\frac{1+\sin\alpha}{1-\sin\alpha}} - \sqrt{\frac{1-\sin\alpha}{1+\sin\alpha}} = 2\tan\alpha $ для $ -\frac{\pi}{2} < \alpha < \frac{\pi}{2} $.

Преобразуем левую часть равенства. Приведем оба слагаемых к общему знаменателю:

$ \frac{\sqrt{1+\sin\alpha}}{\sqrt{1-\sin\alpha}} - \frac{\sqrt{1-\sin\alpha}}{\sqrt{1+\sin\alpha}} = \frac{(\sqrt{1+\sin\alpha})^2 - (\sqrt{1-\sin\alpha})^2}{\sqrt{1-\sin\alpha}\sqrt{1+\sin\alpha}} $

Упростим числитель и знаменатель:

$ \frac{(1+\sin\alpha) - (1-\sin\alpha)}{\sqrt{(1-\sin\alpha)(1+\sin\alpha)}} = \frac{1+\sin\alpha-1+\sin\alpha}{\sqrt{1-\sin^2\alpha}} = \frac{2\sin\alpha}{\sqrt{\cos^2\alpha}} $

Это равно:

$ \frac{2\sin\alpha}{|\cos\alpha|} $

По условию, угол $ \alpha $ находится в интервале $ -\frac{\pi}{2} < \alpha < \frac{\pi}{2} $ (I и IV четверти). В этом интервале косинус положителен, то есть $ \cos\alpha > 0 $. Следовательно, $ |\cos\alpha| = \cos\alpha $.

Подставим это в наше выражение:

$ \frac{2\sin\alpha}{\cos\alpha} $

По определению тангенса, $ \tan\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} $. Значит, выражение равно $ 2\tan\alpha $.

Левая часть равна правой, тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.