Номер 645, страница 187 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

24. Основные тригонометрические тождества. IV. Тригонометрия - номер 645, страница 187.

Условие.

645. Докажите, что при всех допустимых значениях $\alpha$ принимает одно и то же значение выражение:

а) $-2(\sin \alpha + \cos \alpha)^2 + 4\operatorname{tg} \alpha \cdot \cos^2 \alpha;$

б) $\frac{1}{2}(\sin^4 \alpha + \cos^4 \alpha) + \operatorname{ctg}^2 \alpha \cdot \sin^4 \alpha;$

в) $5 + \frac{\operatorname{tg} \alpha}{1 + \operatorname{tg}^2 \alpha} - \frac{\operatorname{ctg} \alpha}{1 + \operatorname{ctg}^2 \alpha};$

г) $\frac{\sin^4 \alpha - \cos^4 \alpha}{1 - \operatorname{ctg}^2 \alpha} \cdot 4\operatorname{ctg}^2 \alpha + 4\sin^2 \alpha.$

Решение.

Решение 2 (rus).

а) $-2(\sin \alpha + \cos \alpha)^2 + 4\operatorname{tg} \alpha \cdot \cos^2\alpha$

Раскроем скобки, используя формулу квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2+2ab+b^2$:
$(\sin \alpha + \cos \alpha)^2 = \sin^2 \alpha + 2\sin \alpha \cos \alpha + \cos^2 \alpha$
Применим основное тригонометрическое тождество $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$:
$\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha + 2\sin \alpha \cos \alpha = 1 + 2\sin \alpha \cos \alpha$
Подставим это в первую часть выражения:
$-2(1 + 2\sin \alpha \cos \alpha) = -2 - 4\sin \alpha \cos \alpha$
Теперь преобразуем вторую часть выражения, используя определение тангенса $\operatorname{tg} \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}$ (при условии, что $\cos \alpha \neq 0$):
$4\operatorname{tg} \alpha \cdot \cos^2\alpha = 4 \cdot \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} \cdot \cos^2\alpha = 4\sin \alpha \cos \alpha$
Теперь сложим обе преобразованные части:
$(-2 - 4\sin \alpha \cos \alpha) + 4\sin \alpha \cos \alpha = -2$
Выражение равно -2 при всех допустимых значениях $\alpha$ (где $\cos \alpha \neq 0$).
Ответ: -2.

б) $\frac{1}{2}(\sin^4 \alpha + \cos^4 \alpha) + \operatorname{ctg}^2 \alpha \cdot \sin^4 \alpha$

Преобразуем выражение $\sin^4 \alpha + \cos^4 \alpha$, выделив полный квадрат:
$\sin^4 \alpha + \cos^4 \alpha = (\sin^2 \alpha)^2 + (\cos^2 \alpha)^2 = (\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha)^2 - 2\sin^2 \alpha \cos^2 \alpha$
Используя основное тригонометрическое тождество $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$, получаем:
$1^2 - 2\sin^2 \alpha \cos^2 \alpha = 1 - 2\sin^2 \alpha \cos^2 \alpha$
Подставим это в первую часть исходного выражения:
$\frac{1}{2}(1 - 2\sin^2 \alpha \cos^2 \alpha) = \frac{1}{2} - \sin^2 \alpha \cos^2 \alpha$
Теперь преобразуем вторую часть выражения, используя определение котангенса $\operatorname{ctg} \alpha = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha}$ (при условии, что $\sin \alpha \neq 0$):
$\operatorname{ctg}^2 \alpha \cdot \sin^4 \alpha = \frac{\cos^2 \alpha}{\sin^2 \alpha} \cdot \sin^4 \alpha = \cos^2 \alpha \sin^2 \alpha$
Сложим обе преобразованные части:
$(\frac{1}{2} - \sin^2 \alpha \cos^2 \alpha) + \cos^2 \alpha \sin^2 \alpha = \frac{1}{2}$
Выражение равно $\frac{1}{2}$ при всех допустимых значениях $\alpha$ (где $\sin \alpha \neq 0$).
Ответ: $\frac{1}{2}$.

в) $5 + \frac{\operatorname{tg} \alpha}{1 + \operatorname{tg}^2 \alpha} - \frac{\operatorname{ctg} \alpha}{1 + \operatorname{ctg}^2 \alpha}$

Используем известные тригонометрические тождества: $1 + \operatorname{tg}^2 \alpha = \frac{1}{\cos^2 \alpha}$ и $1 + \operatorname{ctg}^2 \alpha = \frac{1}{\sin^2 \alpha}$. Допустимыми значениями $\alpha$ являются те, для которых существуют $\operatorname{tg} \alpha$ и $\operatorname{ctg} \alpha$, то есть $\sin \alpha \neq 0$ и $\cos \alpha \neq 0$.
Преобразуем первую дробь:
$\frac{\operatorname{tg} \alpha}{1 + \operatorname{tg}^2 \alpha} = \frac{\frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}}{\frac{1}{\cos^2 \alpha}} = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} \cdot \cos^2 \alpha = \sin \alpha \cos \alpha$
Преобразуем вторую дробь:
$\frac{\operatorname{ctg} \alpha}{1 + \operatorname{ctg}^2 \alpha} = \frac{\frac{\cos \alpha}{\sin \alpha}}{\frac{1}{\sin^2 \alpha}} = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} \cdot \sin^2 \alpha = \cos \alpha \sin \alpha$
Подставим преобразованные дроби в исходное выражение:
$5 + \sin \alpha \cos \alpha - \cos \alpha \sin \alpha = 5$
Выражение равно 5 при всех допустимых значениях $\alpha$.
Ответ: 5.

г) $\frac{\sin^4 \alpha - \cos^4 \alpha}{1 - \operatorname{ctg}^2 \alpha} \cdot 4\operatorname{ctg}^2\alpha + 4\sin^2\alpha$

Преобразуем числитель первой дроби, используя формулу разности квадратов $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$:
$\sin^4 \alpha - \cos^4 \alpha = (\sin^2 \alpha - \cos^2 \alpha)(\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha)$
Так как $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$, числитель равен $\sin^2 \alpha - \cos^2 \alpha$.
Преобразуем знаменатель первой дроби, используя определение котангенса (при $\sin \alpha \neq 0$):
$1 - \operatorname{ctg}^2 \alpha = 1 - \frac{\cos^2 \alpha}{\sin^2 \alpha} = \frac{\sin^2 \alpha - \cos^2 \alpha}{\sin^2 \alpha}$
Теперь преобразуем всю первую дробь (при условии, что $1 - \operatorname{ctg}^2 \alpha \neq 0$, то есть $\operatorname{ctg}^2 \alpha \neq 1$):
$\frac{\sin^4 \alpha - \cos^4 \alpha}{1 - \operatorname{ctg}^2 \alpha} = \frac{\sin^2 \alpha - \cos^2 \alpha}{\frac{\sin^2 \alpha - \cos^2 \alpha}{\sin^2 \alpha}} = \sin^2 \alpha$
Подставим полученный результат в исходное выражение:
$(\sin^2 \alpha) \cdot 4\operatorname{ctg}^2\alpha + 4\sin^2\alpha$
Преобразуем первое слагаемое, используя определение котангенса:
$\sin^2 \alpha \cdot 4 \cdot \frac{\cos^2 \alpha}{\sin^2 \alpha} = 4\cos^2 \alpha$
Теперь всё выражение принимает вид:
$4\cos^2 \alpha + 4\sin^2\alpha = 4(\cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha)$
Используя основное тригонометрическое тождество, получаем:
$4(1) = 4$
Выражение равно 4 при всех допустимых значениях $\alpha$ (где $\sin \alpha \neq 0$ и $\operatorname{ctg}^2 \alpha \neq 1$).
Ответ: 4.