Номер 639, страница 186 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

24. Основные тригонометрические тождества. IV. Тригонометрия - номер 639, страница 186.

Условие.

639. Найдите с точностью до

0,01 значение выраже-

ния:

а) $cos \alpha$, если $tg \alpha = 3$

и $\pi < \alpha < \frac{3\pi}{2}$;

б) $sin \alpha$, если

$ctg \alpha = -\frac{1}{5}$ и $\frac{\pi}{2} < \alpha < \pi$.

Решение.

Решение 2 (rus).

а) Дано: $ \tg \alpha = 3 $ и $ \pi < \alpha < \frac{3\pi}{2} $.

Условие $ \pi < \alpha < \frac{3\pi}{2} $ означает, что угол $ \alpha $ находится в третьей координатной четверти. В этой четверти значения косинуса отрицательны.

Для нахождения $ \cos \alpha $ используем тригонометрическое тождество, связывающее тангенс и косинус: $ 1 + \tg^2\alpha = \frac{1}{\cos^2\alpha} $.

Выразим из него $ \cos^2\alpha $: $ \cos^2\alpha = \frac{1}{1 + \tg^2\alpha} $.

Подставим известное значение $ \tg \alpha = 3 $:

$ \cos^2\alpha = \frac{1}{1 + 3^2} = \frac{1}{1 + 9} = \frac{1}{10} $.

Тогда $ \cos \alpha = \pm\sqrt{\frac{1}{10}} = \pm\frac{1}{\sqrt{10}} $.

Так как угол $ \alpha $ лежит в третьей четверти, выбираем отрицательное значение: $ \cos \alpha = -\frac{1}{\sqrt{10}} $.

Теперь вычислим приближенное значение и округлим его с точностью до 0,01:

$ \cos \alpha = -\frac{1}{\sqrt{10}} \approx -\frac{1}{3,1622...} \approx -0,3162... $

Округляя до сотых, получаем $ -0,32 $.

Ответ: $ -0,32 $.

б) Дано: $ \ctg \alpha = -\frac{1}{5} $ и $ \frac{\pi}{2} < \alpha < \pi $.

Условие $ \frac{\pi}{2} < \alpha < \pi $ означает, что угол $ \alpha $ находится во второй координатной четверти. В этой четверти значения синуса положительны.

Для нахождения $ \sin \alpha $ используем тригонометрическое тождество, связывающее котангенс и синус: $ 1 + \ctg^2\alpha = \frac{1}{\sin^2\alpha} $.

Выразим из него $ \sin^2\alpha $: $ \sin^2\alpha = \frac{1}{1 + \ctg^2\alpha} $.

Подставим известное значение $ \ctg \alpha = -\frac{1}{5} $:

$ \sin^2\alpha = \frac{1}{1 + \left(-\frac{1}{5}\right)^2} = \frac{1}{1 + \frac{1}{25}} = \frac{1}{\frac{25+1}{25}} = \frac{1}{\frac{26}{25}} = \frac{25}{26} $.

Тогда $ \sin \alpha = \pm\sqrt{\frac{25}{26}} = \pm\frac{5}{\sqrt{26}} $.

Так как угол $ \alpha $ лежит во второй четверти, выбираем положительное значение: $ \sin \alpha = \frac{5}{\sqrt{26}} $.

Теперь вычислим приближенное значение и округлим его с точностью до 0,01:

$ \sin \alpha = \frac{5}{\sqrt{26}} \approx \frac{5}{5,0990...} \approx 0,9805... $

Округляя до сотых, получаем $ 0,98 $.

Ответ: $ 0,98 $.