Номер 633, страница 185 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

24. Основные тригонометрические тождества. IV. Тригонометрия - номер 633, страница 185.

Условие.

633. Упростите выражение:

а) $0,5 + \sin^2\alpha + \cos^2\alpha$;

б) $2 - \sin^2\alpha - \cos^2\alpha$;

в) $2\sin^2\alpha + \cos^2\alpha - 1$;

г) $(1 - \sin\alpha)(1 + \sin\alpha)$;

д) $\tan^2\alpha - \sin^2\alpha - \tan^2\alpha \cdot \sin^2\alpha$;

е) $\sin^4\alpha + \cos^2\alpha - \cos^4\alpha$.

Решение.

Решение 2 (rus).

а) Для упрощения выражения $0,5 + \sin^2\alpha + \cos^2\alpha$ воспользуемся основным тригонометрическим тождеством: $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$.

Подставим значение тождества в исходное выражение:

$0,5 + (\sin^2\alpha + \cos^2\alpha) = 0,5 + 1 = 1,5$.

Ответ: $1,5$.

б) В выражении $2 - \sin^2\alpha - \cos^2\alpha$ вынесем знак минус за скобки у тригонометрических членов:

$2 - (\sin^2\alpha + \cos^2\alpha)$.

Применим основное тригонометрическое тождество $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$:

$2 - 1 = 1$.

Ответ: $1$.

в) Рассмотрим выражение $2\sin^2\alpha + \cos^2\alpha - 1$. Представим $2\sin^2\alpha$ как сумму $\sin^2\alpha + \sin^2\alpha$:

$\sin^2\alpha + \sin^2\alpha + \cos^2\alpha - 1$.

Сгруппируем слагаемые и применим основное тригонометрическое тождество $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$:

$\sin^2\alpha + (\sin^2\alpha + \cos^2\alpha) - 1 = \sin^2\alpha + 1 - 1 = \sin^2\alpha$.

Ответ: $\sin^2\alpha$.

г) Выражение $(1 - \sin\alpha)(1 + \sin\alpha)$ представляет собой формулу разности квадратов $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$, где $a=1$ и $b=\sin\alpha$.

Применим эту формулу:

$(1 - \sin\alpha)(1 + \sin\alpha) = 1^2 - \sin^2\alpha = 1 - \sin^2\alpha$.

Из основного тригонометрического тождества следует, что $1 - \sin^2\alpha = \cos^2\alpha$.

Ответ: $\cos^2\alpha$.

д) Для упрощения выражения $\tg^2\alpha - \sin^2\alpha - \tg^2\alpha \cdot \sin^2\alpha$ сгруппируем первый и третий члены и вынесем общий множитель $\tg^2\alpha$ за скобки:

$\tg^2\alpha(1 - \sin^2\alpha) - \sin^2\alpha$.

Используем тождество $1 - \sin^2\alpha = \cos^2\alpha$:

$\tg^2\alpha \cdot \cos^2\alpha - \sin^2\alpha$.

Теперь воспользуемся определением тангенса $\tg^2\alpha = \frac{\sin^2\alpha}{\cos^2\alpha}$:

$\frac{\sin^2\alpha}{\cos^2\alpha} \cdot \cos^2\alpha - \sin^2\alpha = \sin^2\alpha - \sin^2\alpha = 0$.

Ответ: $0$.

е) Рассмотрим выражение $\sin^4\alpha + \cos^2\alpha - \cos^4\alpha$. Сгруппируем члены $\sin^4\alpha$ и $-\cos^4\alpha$ и применим формулу разности квадратов $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$, где $a=\sin^2\alpha$ и $b=\cos^2\alpha$:

$(\sin^4\alpha - \cos^4\alpha) + \cos^2\alpha = (\sin^2\alpha - \cos^2\alpha)(\sin^2\alpha + \cos^2\alpha) + \cos^2\alpha$.

По основному тригонометрическому тождеству $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$. Подставим это в выражение:

$(\sin^2\alpha - \cos^2\alpha) \cdot 1 + \cos^2\alpha = \sin^2\alpha - \cos^2\alpha + \cos^2\alpha$.

Сокращаем подобные члены и получаем окончательный результат:

$\sin^2\alpha$.

Ответ: $\sin^2\alpha$.